2027年中考数学一轮复习针对性练习含答案 12. 解答题组提升练 二

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22. 如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的高.点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE=x，四边形DEBF的面积为y1，△ADE的面积为y2.
(1)请直接写出y1和y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)如图②，在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的函数图象，请分别写出y1，y2的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2).
23. 某植物园内的亮点——珍稀花卉正竞相绽放，吸引了众多游客前来观赏与拍照留念.如图，四边形观赏区ABED紧邻三角形温室ABC.经测量，C，B，E三点在同一水平直线上，且AD∥CE，BE长45米，DE长60米.点D在点A的正东方向，点C在点A的正北方向，点B在点A的北偏东53°方向，点E在点D的北偏东60°方向.
(1)求A，C两地间的距离；
(2)若游客从郁金香花坛A出发去E地观赏龙舌兰，有两条路线A→B→E和A→D→E可供选择，请计算说明该游客在相同速度情况下沿哪条路线可更快到达E地观赏龙舌兰.(参考数据：sin 53°≈0.80，cs 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，3≈1.73)
24. (2025)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，－2)，连接BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点D.
(1)求抛物线的表达式；
(2)P为直线BC下方抛物线上一点，PE⊥AD于点E，过点P作y轴的平行线交BC于点F，交直线AD于点G，求PG－52EG的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线沿射线CB方向平移，使得新抛物线经过线段BC的中点K，点M为平移后的抛物线上一点，且∠ADM=2∠ABC，直接写出所有符合条件的点M的坐标.
题图
备用图
25. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，D为平面内一点，连接AD，CD，E为CD的中点，连接AE.
(1)如图①，点D在AB边上，若∠BCE=α，求∠DEA的度数(用含α的代数式表示)；
图①
(2)如图②，点D在△ABC内，连接BD，若∠ABD=∠CAE，求证：2AD＋BD=2AE；
图②
(3)如图③，AB=4，点D在△ABC内且∠ADC=90°，连接BE，当BE长取最小值时，把△BCE沿着BC翻折到△BCE的同一平面得到△BCF，请直接写出四边形ACFB的面积.
图③
参考答案
22. 解：(1)y1=－35x＋165(0＜x＜4)，
y2=45x(0＜x＜4)；
【解法提示】如解图①，过点 D 作DH⊥AB于点H，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=2，∴AC=AB2＋BC2=25，∵BD是边AC上的高，∴BD是边AC上的高，∴BD=AB∙BCAC=455，∴CD=BC2－BD2=255，∴AD=AC－CD=855，∴DH=AD∙BDAB=855×4554=85，∴AE=x，AB=4，∴BE=4－x，∴y2=12AE∙DH=12x×85=45x(0＜x＜4)，S△BDE=12BE∙DH，=12(4－x)×85=165－45x，∵∠BDE=90°－∠BDF=∠CDF，∠DBE=90°－∠CBD=∠C，∴△BDE∽△CDF，∴S△CDFS△BDE=(CDBD)2=(255455)2=14，∴S△CDF=14S△ADE=14×(165－45x)=45－15x，∴y1=S△ABC－S△ADE－S△CDF=12×2×4－45x－(45－15x)=－35x＋165(0＜x＜4).
解图①
(2)画出函数y1，y2的图象如解图②；
解图②
性质：y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大(答案不唯一，合理即可).
(3)x的取值范围为0＜x＜2.3(误差范围内即可).
23. 解：(1) 如解图，过点 D 作DF⊥CE于点 F.
在 Rt△DEF中，∠EDF=60°，DE=60，
∴DF=DE∙cs60°=60×12=30，
由题意得AC⊥CE，AC⊥AD，
又∵DF⊥CE，
∴四边形ACFD为矩形，
∴AC=DF=30米，
答：A，C 两地间的距离为 30 米；
解图
(2)∵在 Rt△ACB中，∠CAB=53°，AC=30，
∴BC=AC∙tan53°=30tan53°，
AB=ACcs53°≈50，
∴AB＋BE=50＋45=95(米).
∵BE=45，EF=DE∙sin60°=60×32=303，
∴BF=303－45，
∴AD=CF=BC－BF=30tan53°－(303－45)≈33，
∴AD＋DE=33＋60=93(米)，
∴93＜95，且游客速度相同，
∴该游客沿着路线 A→D→E 可更快到达 E 地观赏龙舌兰.
24. 解：(1) 将点 A(－1，0)， C(0，－2) 的坐标代入y=12x2＋bx＋c，
得12－b＋c=0，c=－2，解得b=－32，c=－2，
∴抛物线的表达式为y=12x2－32x－2；
(2)令12x2－32x－2=0，
解得x=－1或x=4，
∴点 B 的坐标为(4，0).
∵AD∥BC，
∴∠GAB=∠ABC，
根据题意得∠GAB＋∠AGP=90°，∠EPG＋∠AGP=90°，
∴∠GAB=∠EPG，
∴∠ABC=∠EPG，
又∵∠PEG=∠BOC=90°，
∴△PEG∽△BOC，
∴EGPG=OCBC，
在 Rt△BOC 中，OC=2，OB=4，∴BC=25，
∴OC=55BC，
∴EG=55PG，
∴PG－52EG=PG－52×55PG=12PG.
∵B(4，0)，C(0，－2)，
∴BC 所在直线的表达式为 y=12x－2.
∵BC∥AD，
∴设直线 AD 的表达式为 y=12x＋n.
∵直线 AD 过点 A(－1，0)，
∴0=12×(－1)＋n，
∴n=12，
∴直线 AD 的表达式为 y=12x＋12.
设 P(m，12m2－32m－2)，0＜m＜4，则 G(m，12m＋12).
∴PG=－12m2＋2m＋52，
∴PG－52EG=12PG=12×(－12m2＋2m＋52)=－14m2＋m＋54=－14(m－2)2＋94，
∵－14＜0，0＜m＜4，
∴当m=2时，PG－52EG取最大值，最大值为94，此时点P的坐标为(2，－3)；
(3)所有符合条件的点M的坐标为(3－23，4＋3)或(9－26，25－116).
【解法提示】∵B(4，0)，C(0，－2)，
∴线段BC 的中点 K 的坐标为 (2，－1).∵抛物线沿射线 CB 方向平移，且 OB=4，OC=2，∴设抛物线向上平移 a 个单位长度，向右平移 2a 个单位长度 (a＞0).∵y=12x2－32x－2=12(x－32)2－258，∴新抛物线的表达式为 y=12(x－32－2a)2－258＋a.∵新抛物线经过线段BC 的中点 K(2，－1)，∴－1=12(2－32－2a)2－258＋a，解得a=1或a=－1(不符合题意，舍去)，∴新抛物线的表达式为 y=12(x－72)2－178.如解图，在y轴上取一点Q(0，2)，连接BQ，∴OQ=OC.∵OB⊥CQ，∴∠CBQ=2∠ABC.如解图，当M在AD上方的点M1处时，记AD，BQ交于点N，∵∠ADM1=2∠ABC，∴∠ADM1=∠CBQ.∵AD∥BC，∴∠ANQ=∠CBQ，∴∠ADM1=∠ANQ，∴DM1∥BQ.由点B(4，0)，Q(0，2)可得BQ所在直线的表达式为y=－12x＋2，∴可设DM1所在直线的表达式为y=－12x＋d.令 12x＋12=12x2－32x－2，解得x=5或x=－1，将x=5代入y=12x＋12，得y=3，∴D(5，3).将(5，3)代入y=－12x＋d，得d=112，∴DM1 所在直线的表达式为 y=－12x＋112.令－12x＋112=12(x－72)2－178，解得x=3＋23(舍去)或x=3－23，将x=3－23代入y=－12x＋112，得y=4＋3，∴M1(3－23，4＋3).如解图，当M在 AD 下方的点M2处时，∵∠ADM2=2∠ABC，∴∠ADM1=∠ADM2，∴点M1关于直线 AD 的对称点R在直线DM2上.设R(p，q)，∴线段M1R 的中点坐标为(3－23＋p2，4＋3＋q2)，则点(3－23＋p2，4＋3＋q2)在直线 AD 上，为直线 AD 与M1R的交点.∵M1与R关于直线 AD 对称，∴AD⊥M1R，结合直线 AD 的表达式，在直角三角形中根据勾股定理易求得p=23－235，q=4－1135，由D(5，3)，R(23－235，4－1135)可知DR所在直线的表达式为y=112x－492.令112x－492=12(x－72)2－178，解得x=9＋26(舍去)或x=9－26，将x=9－26代入y=112x－492，得y=25－116，
∴M2(9－26，25－116).
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为(3－23，4＋3)或(9－26，25－116).
解图
25. (1)解：根据题意得AE为Rt△CAD的斜边CD上的中线，
则CE=AE=DE.
∴∠ACE=∠CAE.
∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB，∴∠ACB=45°.
∴∠DEA=∠ACE＋∠CAE=2∠ACE=2(45°－∠BCE)=90°－2α；
(2)证明：如解图①，延长CA至点F，使AF=AC，连接DF，过点A作AG⊥AD交DF于点G，
解图①
根据题意，AE为△CDF的中位线，AE∥DF，DF=2AE，
∴∠CAE=∠AFG，
又∵∠CAE=∠ABD，
∴∠AFG=∠ABD，
又∵AF=AC=AB，∠BAD=90°－∠BAG=∠FAG，
∴△AFG≌△ABD(ASA)，
∴AD=AG，BD=FG，
∴△ADG为等腰直角三角形，
∴DG=2AD.
∵DF=DG＋FG=2AE，
∴2AD＋BD=2AE；
(3)解： 485.
【解法提示】如解图②，设G为线段AC的中点，连接EG，则EG为△ACD的中位线，EG∥AD，∴∠CEG=∠CDA=90°.由定弦定角模型可知，点E在△ABC内且在以CG为直径的⊙O的圆弧上(其中O为线段CG的中点)，连接BO交⊙O于点E，此时BE的长取最小值.∵O为CG的中点，G为AC的中点，∴AO=34AC=34AB=3，CO=OE=4－3=1，∴BO=AO2＋AB2=5.∵S△ABC12×4×4=8，△CFB≌△CEB，∴S△CFB=S△CEB=BEBO∙S△COB=BEBO(COAC∙S)=45×14×8=85，∴四边形ACFB的面积为S△ABC＋S△CFB=8＋85=485.
解图②