第22讲 不等式的证明问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第22讲 不等式的证明问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】
三、典题精练 PAGEREF _Tc232802914 \h 2
考点一：直接法与分析法证明不等式 PAGEREF _Tc232802915 \h 2
考点二：构造函数法证明不等式 PAGEREF _Tc232802916 \h 3
考点三：放缩法与估算法证明不等式 PAGEREF _Tc232802917 \h 4
考点四：极值点偏移与虚设零点 PAGEREF _Tc232802918 \h 5
考点五：切线法与割线法 PAGEREF _Tc232802919 \h 6
考点六：泰勒展式与中值定理 PAGEREF _Tc232802920 \h 6
考点七：函数与数列不等式综合 PAGEREF _Tc232802921 \h 7
考点八：三角函数不等式综合 PAGEREF _Tc232802922 \h 8
四、高考真题 PAGEREF _Tc232802923 \h 9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对不等式证明及相关综合问题的考查频率较高，基本均在压轴题位置（第18题或第19题）出现.考查形式从传统的导数作差证明，逐渐向三角函数、抽象函数、集合等多元背景深度交汇，对学生的代数变形能力和逻辑推理水平提出了更高要求.
2. 命题角度与特色
（1）核心考点：重点考查利用导数证明不等式、含参不等式恒成立求参数范围，以及在三角函数、抽象函数等复杂背景下的不等式综合推导.
（2）命题趋势：命题逐渐摆脱单一的“求导作差”模式，常与三角恒等变换、数列放缩、新定义集合等知识深度融合，强调同构变形、放缩法、极值点偏移等高级技巧的灵活应用.
（3）试题特点：综合性极强，思维跨度大.试题往往具有较强的抽象性和逻辑性，要求考生具备严密的逻辑推理能力、分类讨论思想以及熟练运用反证法破局的能力.
3. 备考策略
（1）扎实掌握利用导数研究函数单调性、极值与最值的基本方法，熟练运用作差法、分离参数法处理常规的不等式证明与恒成立问题.
（2）强化放缩法、同构法等高级技巧的针对性训练，特别注意常见超越函数（如 ex≥x+1，lnx≤x−1）的放缩边界与应用场景，提升代数变形的敏锐度.
（3）注重知识交汇与逻辑思维训练，提升在三角函数、抽象函数等复杂背景下剥离出不等式本质的能力，刻意培养严密的逻辑推理与反证法思维习惯.
二、知识清单
1. 基本不等式及其变形
（1） 若 a,b∈R，则 a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b 时取等号）.
（2） 若 a,b>0，则 a+b≥2ab（当且仅当 a=b 时取等号）.
（3） 均值不等式链：若 a,b>0，则 2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22（当且仅当 a=b 时取等号）.
2. 常见超越函数放缩公式
（1） 指数型放缩：
① ex≥x+1（x∈R，当且仅当 x=0 时取等号）.
② ex≥ex（x∈R，当且仅当 x=1 时取等号）.
（2） 对数型放缩：
① lnx≤x−1（x>0，当且仅当 x=1 时取等号）.
② x−1x≤lnx（x>0，当且仅当 x=1 时取等号）.
③ xx+10时，试比较f(x)与R(x)的大小，并证明；
（3）已知数列{an}满足a1=2,lnan+1=2(an−1)an+1，证明：n+3n+1≤an≤2.
【考点六 方法总结】
1. 拉格朗日中值定理建立了函数两点间的割线斜率与区间内某点切线斜率的联系.在证明形如 f(b)−f(a)>k(b−a) 或涉及函数差值的不等式时，将其转化为 f'(ξ)>k，再结合导函数的单调性对 ξ 进行放缩.
2. 新定义背景下的逼近问题，本质是利用多项式或分式函数去近似超越函数.解题时需严格遵循题目给出的定义规则进行运算.得到的逼近不等式往往是后续解决数列不等式放缩的关键工具.
考点七：函数与数列不等式综合
考法15：利用函数单调性与极值证明数列不等式
例15.（2026·安徽淮南·二模）已知函数f(x)=alnx−x+1(a∈R)．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若对∀x>0，f(x)≥0恒成立，求a的值；
（3）证明：(1+n)n>n!en2(n∈N∗)．
考法16：结合放缩法与裂项相消证明数列求和不等式
例16.（2026·山东德州·二模）已知函数f(x)=sin(1−x)+lnx．
（1）求f(x)在(0,1]上的最大值；
（2）证明：sin122+sin132+⋯+sin1n2n+1成立．
考法18：概率与期望背景下的数列不等式证明
例18.（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙．系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案．已知模型甲回答正确的概率为p(0