第03讲-不等式的性质和证明-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第03讲-不等式的性质和证明（原卷版）

                                                                        教学内容

1、是的            条件．

2、设A、B、C三个集合，AB是A(B∪C)的（     ）

A．充分条件  B．必要条件  C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

3．已知：集合，：，则与的推出关系是 （    ）

.   .  .  .

知识点一：不等式的基本性质

知识梳理

1. 不等式的基本性质。

性质1.（不等式的传递性质）：如果，那么

性质2.（不等式的加法性质）：如果，那么

性质3.（不等式的乘法性质）：如果，那么；如果，

那么  

2. 从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？

推论1.

推论2.

推论3.

推论4.

推论5.

推论6.

推论7.

例题精讲

例1.设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_______

例2.下列四个命题中，为真命题的是（ ）

 A. 若，则        B. 若，则

 C. 若，则         D. 若，则

例3.设，下面四个不等式中，正确的是________

①②③④

 A、①和②    B、①和③C、①和④    D、②和④

例4.已知，则下列不等式成立的是_________

 A、    B、C、    D、

例5.已知三个不等式：

（1）    (2)    (3)

以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成_____个正确命题.

例6.用不等式的性质证明；若m>n>0,q<p<0,则

例7.克糖水中有克糖，若再加入克糖，则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示的为________．

巩固练习

1．是的              条件．

2．是的            条件．

3．实数满足条件：①；②；③，则有（ ）

A．　　　　         B．

C．　　　　         D．．

4．给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是(　　)．

 A．①②    B．②③   

 C．③④    D．①④

5．下列说法不正确的是________．

若都是正数，则            若，则

若都是正数，且则  若，则

知识点二：不等式的证明方法

知识梳理

（1）比较法

①求差比较法 要证，只需证；要证，只需证．

 其步骤是：作差变形判断（与零比较）．

②求商比较法 要证，而，只需证；要证，而，只需证．

 其步骤是：作商（除式分母大于零）变形判断（与1比较）

（2）综合法

 利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种由因导果的证明方法叫做综合法．

（3）分析法

 肯定待证的不等式成立，逆推到与已知条件或基本不等式相符合，这一系列的不等式中后者总是前者的充分条件．这种由果索因的证明方法叫做分析法，又称逆证法．

例题精讲

例8.已知，记，则的大小关系是______

例9.设，则中最大的是_______

例10.设，比较与的大小．

例11.设，且，比较：与的大小。

（附：）

例12.设为正数，且，求证：.

例13.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走，如果，则先到达指定地点的是__________

例14.设a1≈，令a2=1+.

（1）证明介于a1、a2之间；

（2）求a1、a2中哪一个更接近于；

（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.

巩固练习

1．已知，下列不等式中正确的是 (     )

A．    B．

C．              D．

2．如果，，那么的大小关系为        ．

3.,则的大小关系为                ．

4．设x,y都是正实数，与的大小关系式.

5．，比较与（）的大小．

知识点三：范围问题

例题精讲

例15.若，则的取值范围是_________

例16.已知，且则的取值范围是______

例17.“”是“”的（　　）

A．充分非必要条件　B．必要非充分条件　C．充要条件　D．既非充分又非必要

例18.已知函数，求的取值范围.

例19.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰和4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格哪个更贵？

例20.若为的3条边，且，则（   ）

 A．    B．     C．      D．

巩固练习

1．已知实数满足；，求：的取值范围．

2. 已知函数满足：试求的取值范围

3.已知是非负整数，且，则的范围是

 一、填空题：

1. A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．

2. 若，则下列各式中一定成立的是________

A．    B．    C．     D．

3. 若，下列4个命题：①；②；③；④，其中真命题的序号是__________

4.已知，，则的大小关系为_________

5. 若，则的取值范围是_______

二、选择题：

6.设R，则 “” 是“” 的（ ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件  C．充要条件  D．不充分也不必要条件

7.设实数、、满足,且,那么下列不等式中不一定成立的是（ ）

A. ；        B. ；             C.；             D. .

三、解答题：

8.已知，比较与的大小

9. 已知、为正实数，，，.试比较与的大小，并指出两式相等的条件；

10. 已知为正数，，求证：