第23讲 函数的零点问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【练习卷+解析卷】

这是一份第23讲 函数的零点问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【练习卷+解析卷】，共7页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc232888600 \h 3
考点一：一个零点问题 PAGEREF _Tc232888601 \h 3
考点二：二个零点问题 PAGEREF _Tc232888602 \h 7
考点三：三个零点问题 PAGEREF _Tc232888603 \h 12
考点四：零点问题之三角函数 PAGEREF _Tc232888604 \h 15
考点五：零点问题之同构法与取点技巧 PAGEREF _Tc232888605 \h 17
四、高考真题 PAGEREF _Tc232888606 \h 22
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对函数的零点问题考查较为频繁，既有客观题中的图象交点与根的大小比较，也有解答题压轴位置的综合探究，分值占比较大.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查利用数形结合判断图象交点个数、利用导数研究函数单调性进而分析零点个数，以及零点与不等式解集的等价转化.
（2） 命题趋势：常与三角函数、指对数函数、抽象函数等深度融合，强调同构变形、数形结合思想的应用，解答题中常结合恒成立问题综合考查.
（3） 试题特点：思维跨度大，综合性强.客观题侧重直观想象与代数变形，解答题要求具备严密的逻辑推理能力和分类讨论思想.
3. 备考策略
（1） 扎实掌握利用导数研究函数单调性、极值与最值的基本方法，熟练运用零点存在性定理判断零点所在区间.
（2） 强化数形结合思想的训练，熟练绘制常见基本初等函数及分段函数的图象，能够将方程根的问题灵活转化为图象交点问题.
（3） 注重知识交汇，提升在复杂背景（如三角函数、指对数同构）下剥离出零点本质的能力，刻意培养严密的逻辑推理与分类讨论习惯.
二、知识清单
1. 函数零点的概念与意义
（1） 零点的定义：对于函数 y=f(x)，把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点.
（2） 零点的意义（三个等价关系）：方程 f(x)=0 有实数根等价于函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点，等价于函数 y=f(x) 有零点.
（3） 拓展转化：函数 h(x)=f(x)−g(x) 的零点个数等价于方程 f(x)=g(x) 的实数根个数，等价于函数 y=f(x) 与 y=g(x) 图象的交点个数.
2. 零点存在性定理
（1） 定理内容：如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)1 时，f'(x)=−e−x−2ax−3a.
∵f″(x)=e−x−2a，当 a>1 时，f″(x)0，∴f'(x) 在 [0,+∞) 上单调递增.
（i） 若 f'（0）=−1−3a≥0，即 a≤−13，则 f'(x)≥f'（0）≥0，∴f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增，则 f(x)≥f（0）>0，符合题意.
（ii） 若 f'（0）=−1−3ac
【答案】A
【思路】分别令三个函数为0，转化为两个基本初等函数图象的交点问题.通过画出指数函数、对数函数与一次函数的图象，利用数形结合确定交点横坐标所在的区间.
【解析】由 f(x)=3x+3x=0，得 3x=−3x，即 3x−1=−x，设 y1=3x−1,y2=−x，画出图象，交点横坐标为 a，由图可知 a∈(−1,0).
由 g(x)=lg3x+3x=0，得 lg3x=−3x，设 y3=lg3x,y4=−3x，画出图象，交点横坐标为 b，由图可知 b∈(0,1).
由 h(x)=x3+3x=0，得 x(x2+3)=0，解得 c=0.
∴b>c>a.
【规律】判断不同方程根的大小关系时，常将方程转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.利用函数的单调性及特殊点（如-1, 0, 1）的函数值，确定交点所在的具体区间，从而比较大小.
考法5：零点存在性与不等式证明综合
例5.（文档183-18）（2026·石家庄一中·一模）已知函数 f(x)=ex−a+ax2−3ax+1,a∈R.
（1） 当 a>1 时，试判断 f(x) 在 [1,+∞) 上零点的个数，并说明理由；
（2） 当 x≥0 时，f(x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围.
【答案】（1） 1个；（2） (−∞,1]
【思路】第一问利用二阶导数判断一阶导数单调性，结合端点值异号确定极值点，再由极值符号判断零点个数.第二问恒成立问题，对参数a分类讨论，结合极值点处导数为0的条件进行代换化简.
【解析】（1） 当 a>1 时，f'(x)=ex−a+2ax−3a.
∵f″(x)=ex−a+2a>0，∴f'(x) 在 [1,+∞) 上单调递增.
又 f'（1）=e1−a−a0，f(x) 在 (x0,+∞) 上单调递增.
又 f（1）=e1−a−2a+11 时，f（1）=e1−a−2a+11 不满足题意.
②当 a≤1 时，f（0）=e−a+1>0，f'(x)=ex−a+2ax−3a.
令 m(x)=f'(x)，则 m'(x)=ex−a+2a，m'（0）=e−a+2a.
记函数 q(x)=e−x+2x，x≤1，则 q'(x)=−e−x+2.
当 x∈(−ln2,1) 时，q'(x)>0，∴q(x) 在 (−ln2,1) 上单调递增.
当 x∈(−∞,−ln2) 时，q'(x)0，∴m'（0）>0.
又∵m'(x) 在 [0,+∞) 上单调递增，∴m'(x)≥m'（0）>0，∴f'(x) 在 [0,+∞) 上单调递增.
（i） 若 f'（0）=e−a−3a≥0，则 f'(x)≥f'（0）≥0，∴f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增，则 f(x)≥f（0）>0，符合题意.
（ii） 若 f'（0）=e−a−3a0，∴f(x) 在 (x1,+∞) 上单调递增.
其中 x1∈(0,1]，且 ex1−a+2ax1−3a=0.
∴f(x)≥f(x1)=ex1−a+ax12−3ax1+1=3a−2ax1+ax12−3ax1+1=a(x12−5x1+3)+1.
∵x1∈(0,1]，∴x12−5x1+3∈[−1,3).
又∵a∈(a0,1]，∴a(x12−5x1+3)≥−1，∴f(x)≥0，满足题意.
结合①②可知，当 a≤1 时，满足题意.
综上，a 的取值范围为 (−∞,1].
【规律】在处理复杂的恒成立问题时，若极值点无法显式求出，常利用“隐零点”代换，即利用导数为0的等式将指数或对数式替换为多项式，从而将极值转化为关于隐零点的多项式函数求最值.
【考点一 方法总结】
1. 处理含参函数的零点与恒成立问题时，常需对参数进行分类讨论.若一阶导数符号不易判断，可考虑求二阶导数，利用二阶导数确定一阶导数的单调性，进而找到极值点或最值.
2. 三次函数零点问题，若能猜根或因式分解，优先降次转化为二次方程的根的分布问题，利用判别式求解，避免复杂的导数讨论.
3. 对于单调函数的区间零点问题，直接利用零点存在性定理（端点值乘积小于0）即可转化为解参数不等式.
4. 判断不同方程根的大小关系时，常将方程转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.利用函数的单调性及特殊点（如-1, 0, 1）的函数值，确定交点所在的具体区间，从而比较大小.
5. 在处理复杂的恒成立问题时，若极值点无法显式求出，常利用“隐零点”代换，即利用导数为0的等式将指数或对数式替换为多项式，从而将极值转化为关于隐零点的多项式函数求最值.
考点二：二个零点问题
考法7：利用导数分析单调性判断两个零点或求参数
例6.（文档25-16）（2026·安徽淮北·二模）已知函数 f(x)=ex−ax−a3.
（1） 当 a=1 时，求曲线 y=f(x) 在点 (1,f（1）) 处的切线方程；
（2） 若方程 f(x)=0 有两个不同的根，求 a 的取值范围.
【答案】（1） y=(e−1)x−1；（2） (1,+∞)
【思路】第一问常规求导代入求切线.第二问分离参数或直接求导，判断函数的单调性与极值，要使方程有两个不同根，只需极大值大于0或极小值小于0，并结合端点极限分析.
【解析】（1） 当 a=1 时，f(x)=ex−x−1，f'(x)=ex−1，得 f'（1）=e−1，又 f（1）=e−2，∴曲线 y=f(x) 在点 (1,f（1）) 处的切线方程为 y−(e−2)=(e−1)(x−1)，即 y=(e−1)x−1.
（2） f'(x)=ex−a，当 a≤0 时，f'(x)>0，f(x) 在 R 上单调递增，方程 f(x)=0 至多有一个实根，不符合题意舍去；当 a>0 时，令 f'(x)=0 解得 x=lna，当 x>lna 时 f'(x)>0，y=f(x) 单调递增；当 x0，故 g(a) 在 (0,+∞) 上单调递增，又 g（1）=0，∴a>1.综上：a 的取值范围是 (1,+∞).
【规律】判断函数有两个零点或求参数范围时，核心是求出函数的极值，并令极值与0建立不等关系.同时需注意分析函数在区间端点或无穷远处的极限趋势，确保图象能穿过x轴.
考法8：结合参变分离与恒成立问题求参数范围
例7.（文档194-19）（2026·河北金科·2月联考）已知函数 f(x)=ln(x+1)−axx+1,a∈R.
（1） 若存在正数 x0，使得 f(x0)0，f(x) 无极值点.当 a>1 时，令 f'(x)=0，得 x=a−1.∵对于 x∈(0,a−1)，f'(x)0，即 121 时，函数 f(x) 的取值范围为 [−4,+∞).作出 f(x) 的大致图象，如图所示.由 g(x)=0，得 f(x)=a，由图可知，当 a∈(−4,−3]∪[−2,−1] 时，直线 y=a 与 f(x) 的图象恰有 2 个交点，即 g(x) 恰有 2 个零点.∴a 的取值范围是 (−4,−3]∪[−2,−1].故选 B.
【规律】分段函数的零点或方程解的个数问题，最有效的方法是数形结合.通过求导或基本初等函数性质，准确画出各段函数的图象，明确极值点、端点值及渐近线，再平移直线观察交点个数.
考法10：已知两个零点求参数范围或零点之和
例9.（文档93-8）（2026·广东佛山·二模）设函数 f(x)=x−2ax 和 g(x)=x−2lgax 的零点分别为 x1,x2，其中 a>1. 当 a∈[2,+∞) 时，则 x1+32x2 的取值范围为（ ）
A. [162,+∞) B. [16,+∞) C. [65,+∞) D. [652,+∞)
【答案】C
【思路】观察两个函数的解析式，发现它们涉及指数函数和对数函数，且底数相同.通过变形找到它们对应的方程，利用反函数图象关于y=x对称的性质，得出两个零点之间的关系，再代入目标式求最值.
【解析】由 f(x)=0，得 ax=2x，设 y1=ax 的图象与 y=2x 的图象的交点为 (x1,2x1)，由 g(x)=0，得 lgax=2x，设 y2=lgax 的图象与 y=2x 的图象的交点为 (x2,2x2)，而 y1=ax 的图象与 y2=lgax 的图象关于直线 y=x 对称，函数 y=2x 的图象也关于直线 y=x 对称，因此点 (x1,2x1) 与点 (x2,2x2) 关于直线 y=x 对称，则 x2=2x1，x1+32x2=x1+64x1，而当 a=2 时，x1=1；当 a∈[2,+∞) 时，x1∈(0,1]，函数 y=x+64x 在 (0,1] 上单调递减，∴x1+32x2∈[65,+∞).故选 C.
【规律】当题目中同时出现同底的指数函数和对数函数，且结构相似时，应高度敏感于反函数的对称性.通过对称性找到两个零点（或交点）的代数关系，可将双变量问题转化为单变量函数求最值.
考法11：两个零点背景下的极值点偏移问题
例10.（文档147-18）（2025·江西新余·二模）已知函数 f(x)=ex−x(x∈R).
（1） 讨论函数 f(x) 的单调性；
（2） 设函数 g(x)=f(x)−am(a>0,m∈R)，若存在唯一实数 a 使函数 g(x) 的最小值为 0，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） 见解析；（2） m=0 或 m≤−1
【思路】第一问常规求导判断单调性.第二问将g（x）最小值为0转化为f（x）的最小值等于a^m.由第一问知f（x）的单调性，结合条件构造关于a的新函数，利用导数分析其零点唯一性，从而求出m.
【解析】（1） 由 f(x)=ex−x(x∈R) 得 f'(x)=ex−1.当 x0，f(x) 单调递增.∴f(x) 在 (−∞,0) 上单调递减，在 (0,+∞) 上单调递增.
（2） 令 g(x)=f(x)−am=ex−x−am(a>0)，由（1）可知，a>0 时，g(x) 在 (−∞,0) 上单调递减，在 (0,+∞) 上单调递增，∴g(x)min=g（0）=1−am.依题，存在唯一实数 a 使函数 g(x) 的最小值为 0，∴存在唯一实数 a 使 1−am=0.令 h(a)=1+lna−am+1,a>0，则 h'(a)=1a−(m+1)am=1−(m+1)am+1a.（i） 当 m≤−1 时，h'(a)≥0 恒成立，故函数 h(a) 在 (0,+∞) 单调递增，又∵h（1）=0，∴存在唯一实数 a=1 使得 h(a)=0，符合题意；（ii） 当 m>−1 时，令 h'(a)>0，得 00.当 a≥0 时，f'(x)>0，f(x) 无极值点.当 a0，不符合题意.当 a0 对 ∀x∈(0,π) 恒成立，求整数 a 的最小值；
（3） 当 a∈(0,1) 时，证明：f(x) 在 (0,π) 上存在唯一零点 x2 和唯一极小值点 x1，且 x10，∴g(x)>0，即 f(x)>0.当 12≥2sinx，∴f(x)>0.∴当 a=3 时，均有 f(x)=3ln(x+1)−2sinx>0 对 ∀x∈(0,π) 恒成立.综上所述，整数 a 的最小值为 3.
（3） 证明：由 f(x)=aln(x+1)−2sinx，可得 f'(x)=ax+1−2csx.令 φ(x)=f'(x)=ax+1−2csx，可得 φ'(x)=−a(x+1)2+2sinx.当 a∈(0,1) 时，φ'(x)=2sinx−a(x+1)2 在 (0,π2) 上递增.而 φ'（0）=−a0.∴g(x) 在 (0,π2) 上单调递增，g(x)>g（0）=0.∴f(2x1)>0 成立，证毕.∴f(x) 在 (0,π) 上存在唯一零点 x2 和唯一极小值点 x1，且 x10)，通分整理得：a2x1+x12=9⇒x12+(ax1)2=9.即点 A(x1,ax1) 同时在第一象限的圆 x2+y2=9 和曲线 y=ax 上.再代入 g(x2)=0（x2 是 g(x) 的正零点）得：lgax2−9−x22=0(x2>0)，两边平方整理得：x22+(lgax2)2=9，即点 B(x2,lgax2) 同时在第一象限的圆 x2+y2=9 和曲线 y=lgax 上.又 y=ax 与 y=lgax 互为反函数，图象关于直线 y=x 对称，且圆 x2+y2=9 也关于 y=x 对称，因此点 A(x1,ax1) 关于 y=x 的对称点 A'(ax1,x1)，一定在 y=lgax 上，且仍在圆 x2+y2=9 上.∵a>1 时 y=lgax 单调递增，与圆只有一个第一象限交点，即点 B 就是 A'，因此：x2=ax1，代入 x12+(ax1)2=9 得：x12+x22=9(x1>0,x2>0).设 x1=3csθ,x2=3sinθ,θ∈(0,π2)，代入得：3x1+x2=33csθ+3sinθ=6sin(θ+π3).正弦最大值为 1，因此 3x1+x2 的最大值为 6.
【规律】当题目中出现结构复杂的指数与对数方程，且难以直接求解时，尝试通过同构变形，将其转化为点在已知曲线（如圆、直线）与指对数函数图象上的交点.利用反函数的对称性寻找变量间的联系.
考法22：结合导数证明零点差不等式
例19.（文档161-18）（2025·河北五个一·4月联考）已知曲线 C1:y=ex，直线 C2:y=x+m.
（1） 若 m=1，判断直线 C2 与曲线 C1 公共点的个数；
（2） 已知直线 C2 与曲线 C1 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 两点.
① 求 m 的取值范围；
② 证明：x1x22+x12x2>0.
【答案】（1） 1个；（2） ① (1,+∞)；② 证明见解析
【思路】第一问构造函数求导判断单调性，确定交点个数.第二问将交点问题转化为方程有两个根，求出参数范围.证明不等式时，将目标不等式转化为两根之和小于0，利用函数的单调性及构造对称差函数进行证明.
【解析】（1） 解：令 f(x)=ex−x−1,x∈R，则 f'(x)=ex−1.
由 f'(x)=0，得 x=0.
当 x∈(−∞,0) 时，f'(x)0 时，−k−x0，得 00，∴p(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，∴x0=e−x0，即 x0+lnx0=0.
故 φ(x) 的最小值 φ(x0)=x0+x02−x0+x0(−x0)=0.
【规律】处理公切线问题，标准步骤是“设两切点、写两切线、同系数联立”.在求最值遇到无法解出的极值点时，利用导数为0的条件进行整体代换，常结合常见同构形式化简目标式.
考法24：结合复合函数与取点技巧分析零点个数
例21.（文档288-8）（2026·湖南邵阳·5月三模）已知函数 f(x)=−x2−2x+2,x≤0|lnx|,x>0，若函数 g(x)=[f(x)]2−af(x)+5 有 8 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. (25,92] B. [25,92) C. (92,143] D. [92,143)
【答案】A
【思路】将复合函数g（x）=0转化为关于f（x）的二次方程.画出f（x）的图象，观察水平直线与f（x）交点个数.要使总共有8个零点，二次方程的两个根必须落在f（x）图象能产生4个交点的区间内，由此列出根的分布不等式.
【解析】作出 y=f(x) 的大致图象如下，
设 f(x)=t，则关于 t 的方程 t2−at+5=0 有 2 个不同的根 t1 和 t2，且关于 x 的方程 f(x)=t1,f(x)=t2 分别有 4 个不同的根.
不妨设 t10，t1+t2=a，t1t2=5.
（1） 若 t1,t2∈(2,3)，则 t1+t2=a>0，∴a>25，且 (t1−2)(t2−2)>0(t1−3)(t2−3)>0，即 5−2a+4>05−3a+9>0，得 250，则：−e−m2−(−em2)=d，e−m2−(−e−m2)=d，
即 em2−e−m2=2e−m2，化简得 em2=3e−m2，两边同乘 em2 得 em=3，故 m=ln3.
故选：D.
【规律】遇到绝对值函数或对数平方等具有对称性的函数零点问题，优先考察函数的奇偶性.利用对称性可大幅减少计算量，将四个零点简化为求正半轴的两个零点，再结合等差数列定义求解.
【考点五 方法总结】
1. 当题目中出现结构复杂的指数与对数方程，且难以直接求解时，尝试通过同构变形，将其转化为点在已知曲线（如圆、直线）与指对数函数图象上的交点.利用反函数的对称性寻找变量间的联系.
2. 极值点偏移或双零点不等式证明中，常需证明两根之和小于0（或大于0）.一般方法是构造对称差函数，利用导数判断其单调性与符号，进而比较函数值的大小，结合原函数的单调性得出结论.
3. 处理公切线问题，标准步骤是“设两切点、写两切线、同系数联立”.在求最值遇到无法解出的极值点时，利用导数为0的条件进行整体代换，常结合常见同构形式化简目标式.
4. 复合方程的零点问题，采用“由外及内”的换元法.先解外层方程确定内层函数的值（即水平直线的高度），再结合内层函数的图象，根据总交点个数逆推外层方程根的分布范围.
5. 遇到绝对值函数或对数平方等具有对称性的函数零点问题，优先考察函数的奇偶性.利用对称性可大幅减少计算量，将四个零点简化为求正半轴的两个零点，再结合等差数列定义求解.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当 x∈[0,2π] 时，曲线 y=sinx 与 y=2sin(3x−π6) 的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】∵函数 y=sinx 的的最小正周期为 T=2π，函数 y=2sin(3x−π6) 的最小正周期为 T=2π3，∴在 x∈[0,2π] 上函数 y=2sin(3x−π6) 有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
2.（2024·全国一卷）已知函数 f(x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3.
（1） 若 b=0，且 f'(x)≥0，求 a 的最小值；
（2） 证明：曲线 y=f(x) 是中心对称图形；
（3） 若 f(x)>−2 当且仅当 10，∴g'(t)>0 恒成立，∴g(t) 在 (0,1) 上为增函数，∴g(t)>g（0）=0 即 f(x)>−2 在 (1,2) 上恒成立.当 −23≤b−2 的解为 (1,2).
3.（2025·全国一卷）若实数 x,y,z 满足 2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z，则 x,y,z 的大小关系不可能是（ ）
A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x
【答案】B
【解析】设 2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=m，∴x=2m−2,y=3m−3,z=5m−5.根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数 y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5 的图象，以上方程的根分别是函数 y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5 的图象与直线 x=m 的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着 m 的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.故选B.年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容
2024
第7题 单选
5分
直接
三角函数图象交点个数问题
2024
第18题 解答
17分
直接
利用导数研究函数不等式解集与零点问题
2025
第8题 单选
5分
间接
指对数方程根的大小比较，转化为函数图象交点
2026
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