2027年中考数学一轮复习练习含答案 16.第三章 第16节 提升课 二次函数的实际应用

这是一份2027年中考数学一轮复习练习含答案 16.第三章 第16节 提升课 二次函数的实际应用
1．(2025甘肃省卷)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+74(x>0)，则水流喷出的最大高度是( )
A. 3mB. 2.75mC. 2mD. 1.75m
2．(2025陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC=16m，L1的最高点B到AC的距离BO=4m，L2，L3关于BO所在直线对称.MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN//AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1) 求抛物线L1的函数表达式；
(2) 已知抛物线L3的函数表达式为y=-316(x-4)2，NQ=52m.求MN的长.
3．(2024滨州)春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元／张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如下表所示：
(1) 请求出y与x之间的函数关系式；
(2) 设该影院每天的利润(利润=票房收入－运营成本)为w(单位：元)，求w与x之间的函数关系式；
(3) 该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
4．(湘教九下习题改编)如图，用一段长为100m的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为15m.矩形AEGD与矩形BCGE的面积相等，矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等.设AE长为xm，BC长为ym，矩形ABCD的面积为zm2.
(1) 直接写出y与x，z与x之间的函数关系式；
(2) 当x为何值时，z有最大值？最大值是多少？
(3) 若需要对矩形AEFH和矩形BCGE区域进行装修改造，单价分别为64元／m2和40元／m2.受资金投入限制，改造总费用不能超过11 520元，请求出x的取值范围.
能力提升
5．(新考法 综合与实践) (2025内蒙古)
问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示.
外形参数：如图①，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成，抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB=8cm，BC=6cm，抛物线L2的高度为4cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上.
问题解决：如图②，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：
(1) 直接写出B，C，D三点的坐标；
(2) 直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式；
(3) 为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长.
参考答案
1. B 【解析】由题意知求水流喷出的最大高度，即为求抛物线的顶点的纵坐标，∵4ac－b24a=4×（－1）×74－224×（－1）=2.75，∴水流喷出的最大高度是2.75 m.
2. 解：(1)由题意得，抛物线L1的顶点坐标为B(0，4)，且过点C(8，0)，
设抛物线L1的函数表达式为y=ax2＋4(a≠0)，
将C(8，0)代入，得
0=64a＋4，解得a=－116，
∴抛物线L1的函数表达式为y=－116x2＋4；
(2)设点N的横坐标为n，则点Q的横坐标为n，
∵NQ=52，
∴－116n2＋4－［－316(n－4)2］=52，
解得n1=n2=6，
∴点N到y轴的距离为6，
由抛物线的对称性，得MN=2×6=12，
∴MN的长为12 m.
3. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx＋b(k≠0)，
则164=40k＋b124=50k＋b，解得k=－4b=324，
∴y与x之间的函数关系式为y=－4x＋324(30≤x≤80，且x是整数)；
(2)由题意得w=xy－2 000=x(－4x＋324)－2 000=－4x2＋324x－2 000，
即w与x之间的函数关系式为w=－4x2＋324x－2 000(30≤x≤80，且x是整数)；
(3)由(2)可知，w=－4x2＋324x－2 000=－4(x－812)2＋4 561(30≤x≤80，且x是整数)，
∵x是整数，且30≤x≤80，
∴当x=40或41时，w取得最大值，最大值为4 560，
即该影院将电影票售价x定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4 560元.
4. 解：(1)y=50－52x，z=－5x2＋100x；【解法提示】∵矩形AEGD与矩形BCGE的面积相等，∴AE=BE=DG=GC，BC=EG，∵矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等，∴AE=HF=DG，∴5x＋2y=100，∴y=50－52x，∴z=AB∙BC=2xy=2x(50－52x)=－5x2＋100x.
(2)由(1)可知，z=－5x2＋100x=－5(x－10)2＋500，
∵0＜y≤15，
∴14≤x＜20，
∵－5＜0，
∴当x＞10时，z随x的增大而减小，
∴当x=14时，z最大，最大值为420 m2；
(3)S矩形AEFH=AE∙EF=AE∙12BC=x∙12y=x(25－54x)=－54x2＋25x，
S矩形BCGE=BE∙BC=xy=x(50－52x)=－52x2＋50x，
设总改造费用为w元，则w=64(－54x2＋25x)＋40(－52x2＋50x)=－180x2＋3 600x，
令w=11 520，则－180x2＋3 600x=11 520，
解得x=16或x=4，
∵－180＜0，抛物线对称轴为直线x=10，
∴当x＞10时，w随x的增大而减小，
∵改造总费用不能超过11 520元，且14≤x＜20，
∴16≤x＜20，
∴当16≤x＜20时，改造总费用不超过11 520元.
5. 解：(1)B(8，0)，C(8，6)，D(0，6)；
【解法提示】∵矩形ABCD的边AB=8 cm，BC=6 cm，∴CD=AB=8 cm，AD=BC=6 cm，CD∥AB，BC∥AD，∴B(8，0)，C(8，6)，D(0，6).
(2)抛物线L1和L2的顶点坐标分别为(4，14)，(4，－4)，
∵装置整体图案为轴对称图形，
∴如解图，作出对称轴，分别交抛物线L1于点M，交抛物线L2于点Q，交矩形ABCD的边CD，AB于点N，P，
解图
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，AP=BP=12AB=4，∠DNP=∠APN=90°，
∴四边形DAPN是矩形，
∴NP=AD=6，
∵抛物线L1的高度为8 cm，抛物线L2的高度为4 cm，直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，
∴MP=MN＋NP=8＋6=14 (cm)，QP=4 cm，
∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M(4，14)，Q(4，－4).
分别设抛物线L1和L2的表达式为y=a1(x－4)2＋14(a1≠0)，y=a2(x－4)2－4(a2≠0)，
将D(0，6)代入y=a1(x－4)2＋14中，得6=16a1－4，解得a1=－12，
则抛物线L1的表达式为y=－12(x－4)2＋14=－12x2＋4x＋6；
将A(0，0)代入y=a2(x－4)2－4中，得0=16a2－4，解得a2=14，
则抛物线L2的表达式为y=14(x－4)2－4=14x2－2x；
(3)∵装置整体图案为轴对称图形，
∴EF⊥MQ，HG⊥MQ，
∵MQ⊥x轴，∴EF∥HG∥x轴，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HE⊥EF，
∴HE⊥x轴，
∴xE=xH，
设xE=xH=n，
∴yH=－12n2＋4n＋6，yE=14n2－2n，
∴EH=yH－yE=－34n2＋6n＋6=15，
解得n=2或n=6(在对称轴MQ右侧，舍去)，
∴xE=2，
∴由抛物线对称性可得EF=2(x对称轴－xE)=4 (cm).
电影票售价x (元／张)
40
50
售出电影票数量y (张)
164
124