新高考数学一轮复习题型分类讲练1.3 复数（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练1.3 复数（精讲）（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了复数的实部与虚部，复数的分类，复数对应的象限，复数的模长，复数范围内解方程，复数相关的轨迹问题，复数模长轨迹相关的最值问题，复数的运算及性质等内容，欢迎下载使用。

考向一 复数的实部与虚部
【例1-1】（24-25高三上·山东济南·期中）已知复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
可得，所以的虚部是，故选:A.
【例1-2】（2025·天津和平·一模）为虚数单位，复数的实部为 .
【答案】2
【解析】,所以复数的实部为2.故答案为：2.
【一隅三反】
1.（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】由，解得，所以．所以的虚部为1．故选：C．
2.（2025·河南·三模）若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以，其的虚部为.故选：A.
3.（2024·湖南·模拟预测）已知复数，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】B
【解析】因为，所以复数的实部与虚部之和，故选:B.
考向二 复数的分类
【例2-1】（2025·贵州铜仁·三模）若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】已知是纯虚数，
则实部，解得，且虚部，经检验满足，故选：D
【例2-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）（多选）已知，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则z是实数B．若为虚数，则z是虚数
C．若，则是实数D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A，B，设，则，
若为实数，则，但这不一定能得到，比如，
这个时候满足为实数，但不是实数，故A错误；
若为虚数，则，这一定能得到，此时是虚数，故B正确；
对于C，D，设，
若，这表明，
所以是实数，故C正确；
若，
这表明，
但不一定等于0，
比如，这个时候有，
但，故D错误.
故选：BC.
【一隅三反】
1.（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【解析】因为复数（）是纯虚数，所以，
由，得或，由，得，.故选：D.
2.（2024·山西运城）已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ）
A．B．4C．2D．
【答案】B
【解析】，
要使为实数，需满足，所以.故选：B.
3.（2025·陕西渭南·二模）（多选）已知是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数
C．对于任意的复数都是实数 D．
【答案】BCD
【解析】设，
选项A，若，则，不一定是实数，A错；
选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确；
选项C，是实数，C正确；
选项D，设，则
，D正确；
故选：BCD．
考向三 复数对应的象限
【例3-1】（2025·河北沧州·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，
所以该复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，
故选：A.
【例3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，所以，
故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充分不必要条件.
故选：A.
【一隅三反】
1.（2025·湖北武汉·一模）在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】，其在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
2.（2025·四川·模拟预测）复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3（2025·河南·二模）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．实轴上B．虚轴上
C．直线上D．直线上
【答案】C
【解析】因为，所以
所以复数所对应的点坐标为，位于直线上.故选：C.
考向四 复数的模长
【例4-1】（2025·安徽黄山·二模）设复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【解析】由题设，则.故选：A
【例4-2】（2025·江苏南通·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解析】由，所以，又，故选：C
【一隅三反】
1.（2025·江西南昌·二模）已知复数满足，则（ ）
A．B．2C．5D．7
【答案】C
【解析】已知，即．则．可得．故选：C．
2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，则，
所以.故选：A
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，
则，所以，故A正确.故选：A
考向五 复数范围内解方程
【例5-1】（2025·重庆·二模）若是关于的方程的虚数根，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】将代入可得，
化简可得，
故且，解得，，
故选：C
【例5-2】（2025·吉林长春·一模）（多选）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对A，根据韦达定理知，故A错误；
对B，根据韦达定理知，故B正确；
对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确；
对D，因为，则，故D正确.
故选：BCD.
【一隅三反】
1.（2025·河北·模拟预测）若复数是方程的两个不同的根，则（ ）
A．B．C．D．9
【答案】A
【解析】设.则，
因为，所以解得或
不妨设，
则.
故选：A.
2.（24-25云南）（多选）已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ）
A．复数对应的点在第四项象限B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】复数，复数对应的点为，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确；
已知，关于的方程的一个根是，
则，整理得，
所以，；解得：，所以，，故B正确；
由得方程，又知道一个根是，
所以，结合韦达定理，可得另一个根是，所以，，故C正确；
两个虚数不能比较大小，故D错误；
故选：ABC．
3．（2025·广东湛江·一模）（多选）复数，满足，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】依题意得，复数，是方程的两个根，
可得，
解得，则，，
所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：ABD．
考向六 复数相关的轨迹问题
【例6-1】（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】z在复平面内对应的点为，则，
由，得，
化简得.
故选：A.
【例6-2】（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，由，则，
则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆，
故复数所对应的点组成的图形的周长为.故选：D.
【例6-3】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选）设复数z在复平面内对应的点为（a，），则下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．若，则点Z的轨迹的长度为D．若，则点Z的轨迹为椭圆
【答案】ABD
【解析】依题意，，
对于A，，则，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，表示点与点的距离为1，其轨迹是以点为圆心1为半径的圆，
则点Z的轨迹的长度为，C错误；
对于D，表示点与定点的距离和为4（大于两定点间距离）
则点Z的轨迹为椭圆，D正确.
故选：ABD
【一隅三反】
1．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为所以复数对应的点表示的是以为半径的圆，
所以面积为.
故选：B.
2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【解析】设，则复数在复平面内对应点，设，
则，同理，
∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径，
∴短半轴，∴点的轨迹方程为：，
A选项：，A选项正确；
B选项：，B选项正确；
C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确；
D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误.
故选：ABC.
3．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则的最大值为6
B．若，则点的轨迹为椭圆
C．若，则点的轨迹为椭圆
D．若，则点轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】在复平面内，设点，复数所对应点，
对于A，两点的距离表示两点的距离，又，
则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，表示两点的距离，
则的最大值为，A正确；
对于B，表示两点的距离，表示两点的距离，
由，则点的轨迹为线段，B错误；
对于C，，则点的轨迹是以为左，右焦点，长轴长为4的椭圆，C正确；
对于D，，即或，由表示以为圆心，1为半径的圆，
同理表示以为圆心，2为半径的圆，点轨迹的长度为，D正确.
故选：ACD
考向七 复数模长轨迹相关的最值问题
【例7-1】（2025·河南·一模）设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】设，因此，，
当且仅当时取“”，所以的最大值为.
故选：B．
【例7-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】设，若满足，即，
所以，即，
则点在以为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外，
又圆心到坐标原点的距离为，所以的最大值为，
故选： C．
【例7-3】（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，整理得，
故复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．
又可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率，
如图，直线与单位圆分别切于点，，
因为和都为锐角，
所以，
所以，即的最大值为．
故选：B
【一隅三反】
1．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则复数在复平面上的对应点为，
因为，所以，故，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，所以点到原点的最大距离为，
所以的最大值为.故选：B．
2（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 .
【答案】
【解析】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1，
因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
表示点到原点的距离，所以的最小值为.
故答案为：
3.（2025·吉林·三模）已知复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设，由得，
∴，整理得，
∴复数在复平面内对应的点的轨迹为直线.
设，则，
由得，，即，
∴复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∵表示复平面内与所对应的点之间的距离，圆心到直线的距离为，
∴的最小值为.
故答案为：.
考向八 复数的运算及性质
【例8-1】（2025·陕西咸阳·一模）（多选）已知复数，，则（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A、D：当时，，但，故A错误；
又，故D错误；
对于B：由，可得，故B正确；
对于C：设，且，
由，可得，则，
若，则或；若，则，
当，则，
当，则，
当，，则，
综上，，故D正确.
故选：BC.
【一隅三反】
1．（2025·山东菏泽·模拟预测）（多选）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．为实数B．
C．若，则D．
【答案】ABD
【解析】对于A，设复数，则，
则，为实数，故A正确；
对于B，，，则，故B正确；
对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；
对于D，，则
，
，则
，
则，故D正确.
故选：ABD.
2（2025·河南·一模）（多选）已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
【答案】AD
【解析】对于A，设，当时，，
得，得，即，故A正确；
对于B，令，可知，故B错误；
对于C，令，
可知，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD
3．（2025·浙江金华·二模）（多选）已知复数，互为共轭复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】设，则，
A选项，，所以A选项正确.
B选项，，所以B选项正确.
C选项，，，
所以C选项正确.
D选项，设，则，
则，所以D选项错误.
故选：ABC