新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练4-5 复数 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc18957" 4-5 复数 PAGEREF _Tc18957 \h 1
\l "_Tc30223" 一、主干知识 PAGEREF _Tc30223 \h 2
\l "_Tc19466" 考点1：复数的有关概念 PAGEREF _Tc19466 \h 2
\l "_Tc14083" 考点2：复数的几何意义 PAGEREF _Tc14083 \h 3
\l "_Tc32395" 考点3：复数的四则运算 PAGEREF _Tc32395 \h 3
\l "_Tc24843" 【常见结论总结】 PAGEREF _Tc24843 \h 3
\l "_Tc22252" 二、分类题型 PAGEREF _Tc22252 \h 4
\l "_Tc792" 题型一 复数的概念 PAGEREF _Tc792 \h 5
\l "_Tc25435" 题型二 复数的四则运算 PAGEREF _Tc25435 \h 5
\l "_Tc10670" 题型三 复数的几何意义 PAGEREF _Tc10670 \h 6
\l "_Tc8463" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc8463 \h 7
一、主干知识
考点1：复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0其中，当a＝0时为纯虚数.))
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
考点2：复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
考点3：复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(-→))＋eq \(OZ2,\s\up6(-→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(-→))＝eq \(OZ2,\s\up6(-→))－eq \(OZ1,\s\up6(-→)).
【常见结论总结】
1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
二、分类题型
题型一 复数的概念
已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．5C．D．2
在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
已知复数是关于的方程的一个根，则__________.
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
已知复数（其中为虚数单位），则实数_________．
在复平面内，复数对应的点为，则__________.
设复数满足（为虚数单位），则________.
已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数为___________.
已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
设复数，满足，，则=__________.
设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________．
题型二 复数的四则运算
已知是虚数单位，化简的结果为_________．
若复数z满足，则z的共轭复数的虚部为________.
复数（为虚数单位）是实系数方程的一个解，则实数__________．
复数，则__________．
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
i是虚数单位，则复数______.
是虚数单位，复数_______________.
复数的虚部是______
已知，复数，若的虚部为1，则_________.
题型三 复数的几何意义
复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是________．
已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为______．
在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.
已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________.
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
已知z是复数,均为实数（i为虚数单位）,且复数在复平面上对应的点在第一象限,则实数a的取值范围是__________．
已知复数满足，则的最小值为_________ .
已知，则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为__________________．
设复数满足，在复平面内对应的点为，则在复平面内的轨迹方程为__________．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设两条直线，平行的概率为，相交的概率为，则复数所对应的点与直线的位置关系
A．在直线的右下方B．在直线的右上方
C．在直线上D．在直线的左下方
2．对于复数，，，，若集合，，，具有性质“对任意，，必有”，则当时，等于
A．1B．C．0D．
3．复数在复平面内对应的点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知复数，则在复平面内所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．若复数满足，则在复平面内表示的点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知复数为虚数单位），复数满足，在复平面内对应的点为，则
A．复数在复平面内对应的点位于第二象限
B．
C．
D．的最大值为
7．若复数，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为
A．B．6C．4D．
8．若复数，为虚数单位）是纯虚数，则的值为
A．B．C．D．2
9．已知，为实数，为虚数单位）是关于的方程的一个根，则
A．0B．1C．2D．4
10．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数
A．1B．C．D．
11．已知复数满足，则的实部是
A．9B．7C．5D．3
12．已知复数，且，则
A．B．9C．D．3
13．已知，复数是实数，则
A．B．C．3D．
14．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，则等于
A．B．C．D．
15．已知，则的值为
A．B．0C．1D．2
16．复数的虚部为
A．1B．C．D．
17．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为虚数单位）为“等部复数”，则实数的值为
A．B．C．0D．1
18．复数的虚部为
A．B．C．D．
19．已知为虚数单位，，则复数在复平面上所对应的点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
20．已知复数满足，则
A．1B．C．2D．
21．若复数满足，则的最大值为
A．1B．2C．4D．9
22．已知复数满足，则
A．1B．C．D．
23．已知为虚数单位，复数满足，则
A．B．C．3D．
24．复数，满足，则
A．1B．2C．0或2D．1或2
25．复数满足，则
A．B．C．D．
26．已知集合，，为虚数单位，，则集合与的关系是
A．B．C．D．
27．（多选）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，下列说法中正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若，则
28．是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ．
29．如复数为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 ．
30．设复数的共轭复数是，若复数，，且为实数，则实数的值为 ．