第10讲 对数与对数函数 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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1. 对数式的运算 PAGEREF _Tc232319205 \h 2
2. 对数函数的定义及图像 PAGEREF _Tc232319206 \h 2
三、典题精讲 PAGEREF _Tc232319207 \h 3
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式 PAGEREF _Tc232319208 \h 3
考点二：对数函数的图像与性质 PAGEREF _Tc232319209 \h 5
考点三：对数函数的综合应用 PAGEREF _Tc232319210 \h 7
四、高考真题 PAGEREF _Tc232319211 \h 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，对数与对数函数是高频基础考点.直接考察主要体现在对数方程与大小比较；间接考察极为频繁，常作为基本初等函数之一，与导数、切线方程、函数单调性等知识交汇考察，贯穿于选择、填空及解答题中.
2. 命题角度与特色
核心考点：对数的运算性质、指对互化、对数函数的图象与单调性.
命题趋势：单纯考查对数运算的题目减少，更多地将对数函数作为载体，结合导数工具考查切线、最值、单调性等综合问题.同时，指对同构、引入参数比较大小也是近年热门命题方向.
试题特点：注重基础知识的灵活运用，常在分段函数、复合函数中设置对数函数，对定义域（真数大于0）的考查暗含其中，计算量适中但思维要求较高.
3. 备考策略
· 熟练掌握对数的运算法则及换底公式，能够灵活进行指对互化.
· 深刻理解对数函数的图象特征与性质（单调性、过定点等），解题时务必优先注意定义域的限制（真数大于0）.
· 强化对数函数求导公式的记忆，提升在导数背景下处理对数型函数切线、极值、最值问题的综合能力.
· 掌握构造函数、引入中间变量（如设k法）比较指对数大小的常用技巧，善于利用数形结合思想直观解题.
二、知识清单
1. 对数式的运算
（1）对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）常见对数：
· ①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为lgaN，读作以a为底N的对数；
· ②常用对数：以10为底，记为lgN；
· ③自然对数：以e为底，记为lnN；
（3）对数的性质和运算法则：
· ①lga1=0；lgaa=1；其中a>0且a≠1；
· ②algaN=N(其中a>0且a≠1，N>0)；
· ③对数换底公式：lgab=lgcblgca；
· ④lga(MN)=lgaM+lgaN；
· ⑤lgaMN=lgaM−lgaN；
· ⑥lgambn=nmlgab(m,n∈R)；
· ⑦algab=b和lgaab=b；
· ⑧lgab=1lgba；
2. 对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数y=lgax(a>0且a≠1)叫做对数函数.
（2）对数函数的图象与性质：
【易错提醒】在进行对数运算和解对数方程、不等式时，必须优先保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.
【防坑警示】在使用对数的乘除法则lga(MN)=lgaM+lgaN时，要注意从左到右变形时，必须保证M>0且N>0；若原式中仅保证MN>0，拆分时应加绝对值，即lga(MN)=lga|M|+lga|N|.
三、典题精讲
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式
考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值
例1.（文档327-275）计算lg332⋅lg49−lg234+lg26的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】8
【思路】观察待求式子中的对数底数与真数，发现它们均可化为2或3的幂次.利用对数的换底公式及运算性质，将不同底的对数转化为同底或直接约分，再结合对数的加减法法则进行合并计算.
【解析】原式=lg325⋅lg2232−lg234+lg26=5lg32⋅lg23−lg234+lg26=5−lg234+lg26=5+lg2634=5+lg28=8.
【规律】处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式的推论lgab⋅lgbc=lgac进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项.
考法2：解对数方程及求参数
例2.（文档327-274）设p>0,q>0，满足lg4p=lg6q=lg9(2p+q)，则pq=＿＿＿＿＿＿.
【答案】12
【思路】面对连等式且底数和真数均不同的对数方程，常引入辅助变量k，将对数式转化为指数式.由此可得到关于p和q的指数方程组，将其代入真数的关系式中，构造出关于pq的齐次方程，进而求解.
【解析】令lg4p=lg6q=lg9(2p+q)=k，则p=4k,q=6k,2p+q=9k，∴2p+q=2⋅4k+6k=9k，整理得2⋅232k+23k=1，解得23k=12（负值舍去），∴pq=4k6k=23k=12.
【规律】解决“lgax=lgby=lgc(mx+ny)”型问题，核心步骤是“设k法”：令连等式等于k，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解.
考法3：利用单调性解对数不等式
例3.（文档327-280）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x，则f(x)≥−2的解集是
A. [−4,0]∪[14,+∞) B. [−14,0]∪[4,+∞)
C. [−4,0)∪[14,+∞) D. [−14,0)∪[4,+∞)
【答案】A
【思路】题目已知x>0时的解析式及奇函数性质，要求解不等式，需先求出x1增，00，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(m−lnn)=f(lnm)，
则m−lnn=lnm.
（2） 由（1）知lnn=lnemm，∴n=emm，
∴nm=emm2，
令g(x)=exx2，g'(x)=ex⋅x2−ex⋅2xx4=ex(x−2)x3，
令g'(x)>0，解得：x>2；令g'(x)z>y C. y>x>z D. y>z>x
【答案】B
【解析】法一：设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=m，
令m=2，则x=1,y=3−1=13,z=5−3=1125，此时x>y>z，A有可能；
令m=5，则x=8,y=9,z=1，此时y>x>z，C有可能；
令m=8，则x=26=64,y=35=243,z=53=125，此时y>z>x，D有可能；
故选B.
法二：设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=m，∴x=2m−2,y=3m−3,z=5m−5.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5的图象，以上方程的根分别是函数y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5的图象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，
故选B.
2.（2026·全国一卷）曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为
A. y=3x+2 B. y=5x C. y=8x−3 D. y=13x−8
【答案】D
【解析】∵y=5x+8lnx，
∴y'=5+8x.
当x=1时，切线的斜率k=y'|x=1=5+8=13.
又切点为(1,5)，
∴切线方程为y−5=13(x−1)，即y=13x−8.
3.（2024·全国一卷）已知函数为f(x)=−x2−2ax−a,x−2当且仅当10在(0,1)上恒成立，
设g(t)=lnt+11−t−2t+bt3,t∈(0,1)，
则g'(t)=21−t2−2+3bt2=t2(−3bt2+2+3b)1−t2，
当b≥0，−3bt2+2+3b≥−3b+2+3b=2>0，
故g'(t)>0恒成立，故g(t)在(0,1)上为增函数，
故g(t)>g（0）=0即f(x)>−2在(1,2)上恒成立.
当−23≤b−2的解为(1,2).年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容与方式
2025
8题 单选题
5分
直接
考察对数方程与大小比较，通过引入中间变量将指对数互化，结合函数图象比较大小
2024
6题 单选题
5分
间接
考察分段函数的单调性，其中一段为含自然对数的复合函数，需利用对数函数单调性列不等式
2024
13题 填空题
5分
间接
考察两曲线的公切线问题，解题过程中需对含自然对数的函数求导并代入切点计算
2024
18题 解答题
17分
间接
考察导数的综合应用，函数解析式中含有对数结构，涉及对数型函数的求导、单调性分析及最值求解
2026
4题 单选题
5分
间接
考察曲线在某点处的切线方程，需要对含自然对数的函数进行求导运算