第7讲 成比例的线段【知识精讲+典例+针对练习】【暑假预习讲义】2026沪教版数学五四制九年级上册（含详解版）

这是一份第7讲 成比例的线段【知识精讲+典例+针对练习】【暑假预习讲义】2026沪教版数学五四制九年级上册（含详解版），共10页。试卷主要包含了线段的比，线段的比值，分比性质，等比性质，在比例尺为1，，那么x等内容，欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
理解 成比例线段的概念，掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积），能灵活运用比例性质进行变形与求值。
掌握 利用比例线段求线段长、判断线段是否成比例、求比例中项等方法。
理解 黄金分割的定义，掌握黄金比 5−12 的推导与应用，能解决与黄金分割相关的实际问题（如人体比例、建筑、艺术设计等）。
认识 黄金三角形（顶角36°的等腰三角形），理解其底边与腰的比等于黄金比，并能进行相关计算与证明。
体会 比例性质在几何、代数及实际生活中的广泛应用，感受数学之美。
✨ 核心思想：比例是连接不同量之间的桥梁，黄金分割是自然界与艺术中的和谐之美。
知识梳理 · 核心知识点
☆知识点1：线段的比
1．线段的比
两条线段的长度的比叫作两条线段的比.
提醒 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位度量.
例1 求线段a与线段b的比，其中a=3m,b=150dm.
解：a:b=3m:150dm=30dm:150dm=1:5.
2．线段的比值
两条线段的长度相除所得的商叫作两条线段的比值.
提醒 因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值
总是正数.
例2 已知点B在线段AC上，BC=3A.求下列各组线段的比值.
(1)AB:BC; (2)AC:AB; (3)BC:AC.
解：如图，设AB=k，则BC=3k，则AC=4k.

(1)AB:BC=k3k=13.
(2)AC:AB=4kk=4.
(3)BC:AC=3k4k=34.
☆知识点:2：线段成比例
1．线段成比例的定义
对于四条线段a、b、c、d，如果a:b=c:d(或表示为ab=cd)，就说a、b、c、d成比例
a、d是比例外项，b、c是比例内项.
提醒 表述比例线段时，要注意顺序.如上述四条线段a、b、c、d是比例线段，a:b=c:d(或表示为ab=cd)，那么a是第一比例项、b是第二比例项、c是第三比例项、d是第四比例项.
例3 下列各组线段中，成比例的是 .
①5cm、6cm、7cm、8dm; ②3cm、6m、2cm、5m;
③2cm、4cm、6cm、8cm; ④12cm、8cm、15cm、10cm.
解析：8dm=80cm,6m=600cm,5m=500cm
答案：④
注意
判断四条线段是否成比例的方法
判断四条线段是否成比例，首先要统一单位，并把四条线段按由小到大（或按由大到小）的顺序排列，然后分别计算前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比是否相等或首尾两项的积是否等于中间两项的积.若相等，则成比例，否则不成比例.
2．比例中项
如果三条线段a、b、c满足a:b=b:c，那么线段b叫作线段a、c的比例中项.
提醒 由比例式求线段长、比例中项时，应为正数.
☆知识点3：比例的性质
1．比例的基本性质
如果ab=cd，那么ad=bc.
提醒 （1）还可以得到：如果ab=cd，那么ba=dc,ac=bd,ca=db，其中abcd≠0.
（2）如果ab=bc，那么b2=ac.
2．合比性质
如果ab=cd，那么a+bb=c+dd.合比性质证明如下：
证法1 由已知ab=cd，不妨设比值为k，证法2 ∵ab=cd,
即ab=cd=k，可得a=kb,c=kd.∴ab+1=cd+1.
∴a+bb=kb+bb=k+1,,c+dd=kd+dd=k+1.∴a+bb=c+dd.
∴a+bb=c+dd.
3．分比性质
如果ab=cd，那么a−bb=c−dd.
提醒 可以根据合比性质的证明思路，证明分比性质.
4．等比性质
如果ab=cd=k，那么a+cb+d=k
等比性质证明如下：
证明：由ab=cd=k，可得a=kb,c=kd,∴.a+cb+d=kb+kdb+d=k.
由此可得结论：a+cb+d=k.
等比性质也可推广到任意有限多个相等的比的情形.例如：如果a1b1=a2b2=a3b3=k，那么a1+a2+a3b1+b2+b3=k.
提醒 在实数范围内，要使等比性质仍然成立，要注意式中的分母不能为零，如b+d≠0,b1+b2+b3≠0等.
例4 已知xy=23，则下列结论错误的是( ).
A.x+yy=53B.y−xy=13C.x2y=13 D.x+1y+1=34
解析：(1）合、分比性质中，分子、分母相加、减后作分子，分母不变；(2）等比性质中，分子、分母同加后分别作分子、分母.
x+yy=2+33=53，故A项正确；y−xy=3−23=13，故B项正确；x2y=12.xy=12×23=13，故C 项正确；设x=2k(k≠0)，则y=3k，故x+1y+1=2k+13k+1，只有当k=1时，,x+1y+1=34，其余情况x+1y+1均不等于34，故D项错误. 答案：D
1．黄金分割
如图，点P将线段AB分割成两段，其中较长一段（AP）为较短一段（BP）和线段AB 的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点.根据线段的对称性，可以找到线段AB的另外一个黄金分割点P'.
2．黄金数
黄金分割得到的较长线段与整条线段的比值5−12叫作黄金数，它是一个无理数，近似值通常取为0.618．
黄金数的求解过程：
如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，设线段AP的长为x，那么线段PB的长为l-x.
由PBAP=APAB，得到关于x的方程l−xx=xl
即x2+lx−l2=0.
解得x=−l±5l22=−l±5l2=−1±52l.
因为 x=−1+52l>0,x=−1−52l