新高考数学一轮复习核心考点练习第3章§3.5指对同构问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点练习第3章§3.5指对同构问题（2份，原卷版+解析版），共51页。试卷主要包含了5　指对同构问题，已知函数f＝aex－x等内容，欢迎下载使用。
【名师点拨】把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
【必练核心题型】
题型一 双变量地位同等同构
【典例】1.若对00，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)＝6的解只有一个，
所以a＝ln b－2，
则ab＝b(ln b－2)＝e3×3－1＝e8.
【解题技巧】利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
【变式训练】
变式1.(多选)对不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是( )
A.f(x)＝ln x＋xB.f(x)＝xln x
C.f(x)＝x＋exD.f(x)＝xex
【答案】AC
【解析】由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，
所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为
ln eax＋eax>ln(bx)＋bx，
构造函数f(x)＝ln x＋x，
可得f(eax)>f(bx).
同理，由恒等式x＝eln x可得bx＝eln(bx)，
所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为ax＋eax>ln(bx)＋eln(bx)，
构造函数f(x)＝x＋ex，可得f(ax)>f(ln(bx)).
题型三 同构法的应用
【典例】1.设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为 .
【答案】1e
【解析】由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，
即kxekx≥eln x·ln x，
令f(x)＝xex，则f(kx)≥f(ln x).
因为f'(x)＝(x＋1)ex，
所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
因为kx>0，ln x>0，
所以kx≥ln x，即k≥lnxx，
令h(x)＝lnxx(x>1)，则h'(x)＝1−lnxx2，
当x∈(1，e)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，h'(x)0，
即g(x)在(0，1)上单调递增，
其中g(1)＝ln 1－1＝－1，故a≥g(1)＝－1，
所以－1≤ae，所以be>1，
易知当x>1时，f'(x)＝ln x＋1>0，可得函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以eaea＋1.
【限时训练】[限时：45分钟]
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是( )
A.x>yB.x>ln y
C.xy－ln y，
令f(x)＝ex－x，
则f(ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y，
∴不等式ex－x>y－ln y等价于f(x)>f(ln y)，
∵f'(x)＝ex－1，
∴当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，
由f(x)>f(ln y)有x>ln y；
若y∈(0，1]，则ln y≤0，
由x>0，有x>ln y.
综上所述，x>ln y.
2.若关于x的不等式ex＋x＋ln 1x≥mx＋ln m恒成立，则实数m的最大值为( )
A.2B.eC.3D.e2
【答案】B
【解析】由题意得，m>0，x>0，
不等式等价于ex＋x≥mx＋ln(mx)恒成立，
即ex＋ln ex≥mx＋ln(mx)恒成立，
令f(x)＝x＋ln x，
则不等式转化为f(ex)≥f(mx)，
因为f'(x)＝1＋1x>0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以ex≥mx，则exx≥m.
令g(x)＝exx，x>0，
则g'(x)＝ex(x−1)x2，
则当00，g(x)单调递增，
所以当x＝1时，g(x)有最小值，
即g(x)min＝g(1)＝e，则m≤e，
则m的最大值为e.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.(2025·邯郸模拟)已知a>0，b∈R，e是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋ln a，则a－b的值可以是( )
A.－1B.1C.2D.3
【答案】BCD
【解析】设函数f(x)＝x＋ex，
则f(x)在R上是增函数，
所以b＋eb－(a＋ln a)＝b＋eb－(ln a＋eln a)＝f(b)－f(ln a)＝0，
所以b＝ln a，即a＝eb，所以a－b＝eb－b，
令g(x)＝ex－x，则g'(x)＝ex－1，
当x0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(0)＝1，从而a－b≥1，结合选项，选项BCD符合题意.
4.若不等式ax－exln a0，
由ax－exln a0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)0时，f(x)＝xex>0恒成立，
所以f(x)＝xex的图象如图所示，
xexf(2)，
根据图象可得f(x)0时，f'(x)>0，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.
由f(x1)＝f(ln x22)得x1＝ln x22，
所以ex1＝x22，
因为x1ex1＝4，所以x1x22＝4.
四、解答题(共13分)
7.(13分)(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)＝aex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；(5分)
(2)若f(x)＋x＋ln a≥ln x，求实数a的取值范围.(8分)
【解析】(1)因为f(x)＝aex－x，定义域为R，
所以f'(x)＝aex－1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，
故f'(x)＝aex－10时，令f'(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，
当x0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增.
(2)因为f(x)＝aex－x，
所以f(x)＋x＋ln a≥ln x等价于eln a＋x＋ln a＋x≥ln x＋x＝eln x＋ln x，
令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(ln a＋x)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数，
所以原不等式等价于ln a＋x≥ln x，
即ln a≥ln x－x，
令h(x)＝ln x－x，则h'(x)＝1x－1＝1−xx，
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h'(x)