2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第三章3.5指对同构问题（Word版附答案）

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题型一 双变量地位同等同构
例1 若对0b±ln b，构造函数f(x)=x±ln x.
例2 (1)(多选)若ea+a>b+ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是( )
A.a>ln bB.abD.ea0，b>e2)可化为同构方程，则ab的值为 .
思维升华 利用恒等式x=ln ex和x=eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
跟踪训练2 (多选)对不等式ax+eax>ln(bx)+bx进行指对同构时，可以构造的函数是( )
A.f(x)=ln x+xB.f(x)=xln x
C.f(x)=x+exD.f(x)=xex
题型三 同构法的应用
例3 (1)设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为 .
(2)(2025·衡阳模拟)已知m是方程xeex-2+(e-1)ln x=2的一个根，则e2-me-1+(e-1)ln m等于( )
A.1B.2C.3D.5
思维升华 常见的同构函数有：①f(x)=lnxx；②f(x)=xln x；③f(x)=xex；④f(x)=xex.
其中①④可以借助lnxx=lnxelnx=tet，②③可以借助xex=(ln ex)ex=(ln t)t=tln t进行指对互化.
跟踪训练3 (1)(2024·吕梁模拟)若关于x的不等式ea+x·ln x0，
所以F(x)在(0，+∞)上单调递增，故F(x)=6的解只有一个，
所以a=ln b-2，
则ab=b(ln b-2)=e3×3-1=e8.
跟踪训练2 AC [由恒等式x=ln ex可得ax=ln eax，
所以ax+eax>ln(bx)+bx可变形为
ln eax+eax>ln(bx)+bx，
构造函数f(x)=ln x+x，
可得f(eax)>f(bx).
同理，由恒等式x=eln x可得bx=eln(bx)，
所以ax+eax>ln(bx)+bx可变形为ax+eax>ln(bx)+eln(bx)，
构造函数f(x)=x+ex，
可得f(ax)>f(ln(bx)).]
例3 (1)1e
解析 由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，
即kxekx≥eln x·ln x，
令f(x)=xex，则f(kx)≥f(ln x).
因为f'(x)=(x+1)ex，
所以f(x)在(-1，+∞)上单调递增，
因为kx>0，ln x>0，
所以kx≥ln x，即k≥lnxx，
令h(x)=lnxx(x>1)，
则h'(x)=1-lnxx2，
当x∈(1，e)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e，+∞)时，h'(x)0，
即g(x)在(0，1)上单调递增，
其中g(1)=ln 1-1=-1，
故a≥g(1)=-1，
所以-1≤a1，即b>e，所以be>1，
易知当x>1时，f'(x)=ln x+1>0，可得函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，
所以eaea+1.]