新高考数学一轮复习考点举一反三重难点08 导数中的同构问题（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点举一反三重难点08 导数中的同构问题（专项训练）（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版2019选择性必修2高二化学同步精品讲义习题321分子晶体原卷版docx、人教版2019选择性必修2高二化学同步精品讲义习题321分子晶体解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc11374" 【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】 PAGEREF _Tc11374 \h 2
\l "_Tc27836" 【题型2 同构：利用f(x)与ex构造函数】 PAGEREF _Tc27836 \h 5
\l "_Tc6082" 【题型3 同构：利用f(x)与sinx，csx构造函数】 PAGEREF _Tc6082 \h 7
\l "_Tc26895" 【题型4 指对同构问题】 PAGEREF _Tc26895 \h 10
\l "_Tc31606" 【题型5 同构应用——比较大小】 PAGEREF _Tc31606 \h 13
\l "_Tc30983" 【题型6 同构应用——解决不等式恒成立问题】 PAGEREF _Tc30983 \h 17
\l "_Tc19190" 【题型7 同构应用——证明不等式】 PAGEREF _Tc19190 \h 19
\l "_Tc31354" 【题型8 与零点有关的同构问题】 PAGEREF _Tc31354 \h 24
1、导数中的同构问题
导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，导数中的同构问题经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，难度较大，复习是要加强这方面的训练.
知识点1 导数中的同构问题的解题策略
1．导数中的同构问题是通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，主要有以下几种类型：
(1)利用f(x)与x构造函数
①出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).
②出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数.
(2)利用f(x)与ex构造函数.
(3)利用f(x)与sinx，csx构造函数.
2．同构式的应用
(1)在方程中的应用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根.
(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
知识点2 指对同构问题
1．指对同构解决不等式问题
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.
(1)五个常见变形：
.
(2)三种基本模式：
三种同构方式
①积型：
②商型：
③和差型：
【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】
【例1】（2025·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xf′(x)−2的解集是（ ）
A．−∞,1B．−∞,2C．1,+∞D．2,+∞
【答案】A
【解题思路】设gx=xfx，由g′(x)=f(x)+xf′(x)−2可得g(x+1)>g(2)，由单调性解不等式即可.
【解答过程】设gx=xfx，则g2=2f(2)=−2 ，
∵对任意x∈R，f(x)+xf′(x)g(2)，∴x+10,gx在0,2单调递增，
所以g0.2=ln1.2−1.2−1>g0=ln1−1−1=0，即a>c，
所以c0在(0,1]上恒成立，这表明f(x)在(0,1]上单调递增.
所以f(x)>f(0)，把x=0代入f(x)得f(0)=ln(0+1)−00+1=0，
即ln(x+1)>xx+1在(0,1]上恒成立.
令x=14，则ln(1+14)>141+14=15，得到54ln54>14，即c>a.
综上，c>a>b， 即b0，求g′x=lnx+1，判断gx单调性,得到gx的值域为−1e,+∞，令ft=et−2t,t∈−1e,+∞，求导f′t=et−2，ft单调性，当x>0时，ex⋅lnx−2xlnx≥a恒成立，求实数a的取值范围.
【解答过程】令gx=xlnx,x>0，则g′x=lnx+1，
所以当x∈0,1e时，g′x0,gx单调递增，所以g(x)min=1eln1e=−1e，
又x→+∞,gx→+∞，所以gx的值域为−1e,+∞，
令ft=et−2t,t∈−1e,+∞，则f′t=et−2，
所以当t∈−1e,ln2时，f′t0，ft单调递增，
所以f(t)min=fln2=eln2−2ln2=2−2ln2，
所以exlnx−2xlnxmin=2−2ln2，
又当x>0时，ex⋅lnx−2xlnx≥a恒成立，
所以exlnx−2xlnxmin≥a，
故实数a的取值范围为−∞,2−2ln2．
故选：B.
【变式6-1】（2025·江西新余·模拟预测）若关于x的不等式aex+lnx2≥x2+2lna+1x+lna2在0,+∞上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．e,+∞B．0,eC．1e,+∞D．0,1e
【答案】C
【解题思路】利用通过将原不等式转化为ex+lna−x+lna2≥elnx−lnx2，令gx=ex−x2，利用导数可得该函数为增函数，从而得x+lna≥lnx，再设mx=lnx−x，求出该函数的最大值后可得参数的取值范围.
【解答过程】依题意，aex−x+lna2≥x−lnx2，则ex+lna−x+lna2≥elnx−lnx2，
令gx=ex−x2，则g′x=ex−2x=ℎx，
则ℎ′x=ex−2，令ℎ′x=0，解得x=ln2，
故当x∈0,ln2时，ℎ′x0，ℎx在ln2,+∞单调递增，
故ℎx≥ℎln2=2−2ln2>0，
故gx在0,+∞上单调递增，故只需x+lna≥lnx，即lna≥lnx−x，
令mx=lnx−x，则m′x=1−xx，
故当x∈0,1时，m′x>0，mx在0,1单调递增，
当x∈1,+∞时，m′x0恒成立，所以φ(t)单调递增，
∴ φ(2x)≥φlnex2a⇒2x≥lnex2a⇒2x≥2lnx+1−lna ⇒lna≥2lnx−2x+1，
令ℎ(x)=2lnx−2x+1，则ℎ'(x)= 2x−2，
令ℎ'(x)=0，解得x=1，当x∈(0,1)时，ℎ'(x)>0，ℎ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1,+∞)时，ℎ'(x)0，
当a≥−2时，由x+1x≥2恒成立，即f′x=x+1x+a≥0恒成立，即fx在0,+∞上单调递增；
当ax1>0，
当x∈0,−a−a2−42时，f′x>0，函数fx单调递增；
当x∈−a−a2−42,−a+a2−42时，f′x0，函数fx单调递增；
综上所述，
当a≥−2时，函数fx在0,+∞上单调递增；
当a0，
所以a≤ex+x2−lnxx恒成立，设gx=ex+x2−lnxx，x>0，
则g′x=ex+2x−1x⋅x−ex+x2−lnxx2=exx−1+x2−1+lnxx2，
设ℎx=exx−1+x2−1+lnx，x>0，则ℎ′x=ex+2x+1x>0恒成立，
即函数ℎx在0,+∞上单调递增，且ℎ1=0，
当x∈0,1时，ℎx0，gx在(1,+∞)上单调递增；
所以gx≥g1=e+1，
所以a≤e+1，即a∈−∞,e+1.
16．（2025·海南·模拟预测）已知函数f(x)=ea−x+1x,a∈R．
(1)当a=2时，求f(x)的单调区间与极值点；
(2)已知f(x)有两个极值点x10，则x1=et+t−1et−1，x2=tet+et−1et−1，
则x1+x2=et+t−1et−1+tet+et−1et−1=tet+2et+t−2et−1，
欲证x1+x2>3，只需证tet−et+t+1>0，
令kt=tet−et+t+1,t>0，则k't=tet+1>0，
故kt在0,+∞上单调递增，则kt>k0=0，则tet−et+t+1>0成立，
故x1+x2>3得证.
17．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数fx=xlnx
(1)求函数fx在x=e处的切线方程；
(2)若关于x的不等式fx≥ax−x−1恒成立，求实数a的取值范围；
【答案】(1)y=2x−e；
(2)a≤2．
【解题思路】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式可得直线方程；
（2）先问题等价于在x∈0,+∞时a≤lnx+1x+1恒成立，构造函数gx，求导分析单调性后得到最小值即可.
【解答过程】（1）fx=xlnx，f′x=lnx+1，而fe=e，f′e=2，
所以fx在x=e处的切线方程为：y=2x−e
（2）由题意得：fx≥ax−x−1恒成立，
因为x>0，所以问题等价于在x∈0,+∞时a≤lnx+1x+1恒成立，
令gx=lnx+1x+1，x>0，g′x=x−1x2，
当x>1时，g′x=x−1x2>0，gx为增函数；当00，
所以g′x在0,+∞上单调递增 且g′1=0，
所以当x∈0,1时，g′x0，gx单调递增
所以gx≥g1=0，所以fx>2x−1
设ℎx=2x−1−ln2x,x∈0,+∞，所以ℎ′x=2−1x=2x−1x，
ℎx在0,12上单调递减，在12,+∞上单调递增 ，
所以ℎx≥ℎ12=0，所以2x−1≥ln2x ，
又因为gx=0与ℎx=0等号成立的条件不一致，
所以fx>ln2x．
19．（2025·四川成都·一模）已知函数fx=xex.
(1)求fx的极值；
(2)若fx≤2kx+k恒成立，求k的取值范围；
(3)证明i=1ni!i+1i+2