新高考数学一轮复习考点学案第9章§9.4列联表与独立性检验（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第9章§9.4列联表与独立性检验（含答案解析），共18页。试卷主要包含了列联表与独立性检验，05，109>3，879等内容，欢迎下载使用。

1.分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2.列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
(2)计算统计量χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.
如表为5个常用的小概率值和相应的临界值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.( )
(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响.( )
(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.( )
(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强.( )
2.一个2×2列联表如表所示，则表中a，c处的值分别为( )
A.98，28B.28，98
C.48，45D.45，48
3.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为( )
A.男性喜欢参加体育活动
B.女性不喜欢参加体育活动
C.喜欢参加体育活动与性别有关
D.喜欢参加体育活动与性别无关
4.(2024·哈尔滨模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05的独立性检验，结论为( )
参考值：
A.x与y不独立
B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C.x与y独立
D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
题型一 列联表及等高堆积条形图
例1 (1)为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才.某学校在不加重学生负担的前提下，提供个性、全面的选修课程.为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高堆积条形图，根据条形图，下列结论正确的是( )
A.样本中不愿意选该门课的人数较多
B.样本中男生人数多于女生人数
C.样本中女生人数多于男生人数
D.该等高堆积条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
(2)假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
则当整数m取 时，X与Y的关系最弱( )
A.8B.9C.14D.19
思维升华 利用2×2列联表分析两个分类变量间关系的步骤
(1)根据题中数据获得2×2列联表；
(2)根据频率特征，即将aa+b与cc+d或ba+b与dc+d的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响.
跟踪训练1 (2024·成都模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到列联表：
附：χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n＝a+b+c+d).
已知在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )
A.甲班人数少于乙班人数
B.甲班的优秀率高于乙班的优秀率
C.表中c的值为15，b的值为50
D.根据表中的数据，若依据α＝0.05的独立性检验，能认为“成绩优秀率与班级有关系”
题型二 列联表与独立性检验
例2 随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”.
附：χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n为样本容量).
(1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；
(2)根据表中数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为马拉松的“热烈参与者”与性别有关？
思维升华 独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表.
(2)根据公式χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算.
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.
跟踪训练2 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强“语文阅读理解”训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如表所示：
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.
(1)计算两个班级的优秀率；
(2)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？
参考公式及数据：
χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d.
题型三 独立性检验的综合应用
例3 (2024·拉萨模拟)为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动，从全校学生中随机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分(满分：100分)统计，分别绘制成频率分布直方图，如图所示.
(1)现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上(含80分)的同学，根据男生组和女生组得分在80分以上(含80分)的人数，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，则男生组、女生组分别得多少张该戏剧的演出票？
(2)假设学生竞赛成绩在80分以上(含80分)被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别制成下列2×2列联表：
将列联表补充完整并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为学生喜爱戏曲与性别有关？
参考公式及数据：
χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n＝a+b+c+d).
思维升华 独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出.
跟踪训练3 (2024·赤峰模拟)随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：
(1)若建立y关于x的回归模型为y^＝b^x+a^，求y关于x的经验回归方程(b^精确到0.1，a^精确到1)；
(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，测试前对其中60台进行核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关？
附：经验回归方程y^＝b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估计公式b^＝nΣi=1(xi−x)(yi−y)nΣi=1(xi−x)2，a^＝y－b^x，
χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d.
参考数据：x＝86，y＝112，8Σi=1xiyi＝82 743，8Σi=1xi2＝62 680.
答案精析
落实主干知识
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.C [由2×2列联表知，
a+25＝73，b+25＝49，b+21＝c，
解得a＝48，b＝24，c＝45.]
3.D [独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小，如果χ2很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，即认为两个变量在一定程度上有关，所以想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关.]
4.C [零假设为H0：x与y独立，由χ2＝2.8263.841，故D正确.]
例2 解 (1)s＝100+80＝180，
t＝80+70＝150.
(2)∵80180＝49，
∴p的估计值为49.
(3)零假设H0：药物A对预防疾病B无效.
根据列联表中的数据可得
χ2＝400×100×70−80×1502250×150×180×220
＝2 000297≈6.734>6.635＝x0.01.
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，
即认为药物A对预防疾病B有效.
跟踪训练2 解 (1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，
甲班优秀人数为30人，
优秀率为3050＝0.6＝60%，
乙班优秀人数为25人，
优秀率为2550＝0.5＝50%，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.
(2)补全2×2列联表如下所示.
零假设为H0：加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.
由χ2＝100×(25×30−25×20)255×45×50×50≈1.01