新高考数学一轮复习考点学案第10章§10.3二项式定理（含答案解析）

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1.二项式定理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 .
(2)增减性与最大值：
①当kn+12时，Cnk随k的增加而 .
②当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和：(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Cnkan－kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.( )
(2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.( )
(3)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.( )
(4)二项展开式项的系数是先增后减的.( )
2.(2024·浙江省G5联盟联考)在x2−2x6的展开式中，第4项为( )
A.240B.－240C.160x3D.－160x3
3.若x+3x2n展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n等于( )
A.9B.10C.11D.12
4.在二项式x−2x2n的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .
1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k+1项.
2.牢记一个注意点：(a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.
3.理清二项式系数与项的系数的区别.
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (多选)已知x2−1xn的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是( )
A.n＝10
B.展开式中的常数项为45
C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
命题点2 形如(a+b)m(c+d)n(m，n∈N*)的展开式问题
例2 在(x4+2)x−1x6的展开式中，常数项为 .(请用数字作答)
破解三项展开式问题
求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：
(1)两项看成一项，利用二项式定理展开.
(2)因式分解，转化为两个二项式再求解.
(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答.
典例 (1)(3x2+2x+1)10的展开式中，含x2的项的系数为 .
(2)(1+2x−3x2)5的展开式中含x5的项的系数为 .
思维升华 (1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
跟踪训练1 (1)(多选)关于x2−2x9的展开式中，下列结论错误的有( )
A.展开式中含1x3项的系数为－128
B.第5项和第6项的二项式系数相等
C.展开式中的常数项是第7项
D.展开式中的有理项共三项
(2)已知(ax－1)(2x+1)6的展开式中x5的系数为48，则实数a等于( )
A.2B.1C.－1D.－2
题型二 二项式系数与项的系数的问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)(多选)(2025·福州模拟)已知(1－2x)9＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则( )
A.a0＝1
B.a1＝18
C.a1+a2+…+a9＝－1
D.a1+a3+a5+a7+a9＝－1+392
(2)(多选)已知(1－2x)2 025＝a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024+a2 025x2 025，则( )
A.展开式中二项式系数和为1
B.展开式中所有项的系数和为－1
C.a12+a222+a323+…+a2 02422 024+a2 02522 025＝－1
D.a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024+2 025a2 025＝－4 050
命题点2 系数与二项式系数的最值
例4 (2024·全国甲卷改编)若13+xn的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则各项系数中的最大值为 .
思维升华 (1)赋值法的应用
一般地，对于多项式(a+bx)n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，令g(x)＝(a+bx)n，则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)+g(－1)]，(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)].
(2)二项展开式系数最大项的求法
如求(a+bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak−1,Ak≥Ak+1,从而解得k.
跟踪训练2 (1)(多选)(2024·临沂模拟)在1x−2x4的展开式中，下列说法正确的是( )
A.常数项是24
B.所有项的系数的和为1
C.第3项的二项式系数最大
D.第4项的系数最大
(2)(多选)已知(2x－5)9＝a0+a1(x－2)+a2(x－2)2+a3(x－2)3+…+a9(x－2)9，则下列结论成立的是( )
A.a0＝－1
B.a1+a2+…+a9＝1
C.a0－a1+a2－a3+…－a9＝39
D.a1+2a2+3a3+…+9a9＝18
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)(2025·南通模拟)0.995的计算结果精确到0.001的近似值是 .
(2)(2024·重庆九龙坡期中)已知a＝1+C201·2+C202·22+C203·23+…+C2020·220，则a被10除所得的余数为 .
思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式.
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1+x)n≈1+nx.
跟踪训练3 设a∈Z，且0≤a