新高考数学一轮复习考点学案第10章§10.2排列、组合（含答案解析）

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1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示.
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )
(3)若组合式Cnx＝Cnm，则x＝m成立.( )
(4)Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m).( )
2.(2024·漳州模拟)A63+C108等于( )
A.65B.160
C.165D.210
3.(2024·内江模拟)有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有( )
A.72种B.144种
C.288种D.576种
4.从5名男同学和4名女同学中选出3名男同学和2名女同学，分别担任语文、数学、物理、化学和外语的课代表，选派的方法种数为 .
1.元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.
2.(1)排列数与组合数之间的联系为CnmAmm＝Anm.
(2)排列数与组合数公式的两种形式分别为①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数与组合数式子的变形与论证.
3.解有限制条件的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
题型一 排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数.
(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(2)全体排成一排，甲不站两端；
(3)全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻；
(6)男生顺序已定，女生顺序不定.
思维升华 求解排列问题的6种主要方法
跟踪训练1 (1)(2025·德阳模拟)甲、乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲、乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为( )
A.144B.192
C.360D.480
(2)(2024·杭州模拟)袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”“3”“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数(用数字回答).
题型二 组合问题
例2 从含有A，B的7名男生、5名女生中选取5名，分别求符合下列条件的不同选法种数.
(1)A，B必须当选；
(2)至少有2名女生当选；
(3)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
思维升华 组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法；分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
跟踪训练2 (1)某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则安排方案有( )
A.36种B.24种C.18种D.12种
(2)为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校成立了手工艺社团，并开设了陶艺、剪纸等6门课程.该校甲、乙2名同学报名参加手工艺社团，每人仅报2门课程，其中甲不报陶艺、乙不报剪纸，且甲、乙两人所报课程均不相同，则甲、乙报名课程的方案种数为( )
A.18B.24C.36D.42
题型三 排列组合的综合问题
例3 (多选)(2024·沧州模拟)将4个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有( )
A.共有256种放法
B.恰有一个盒子不放球，共有72种放法
C.恰有两个盒子不放球，共有84种放法
D.每个盒子只放一个小球，恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，共有8种放法
思维升华 对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的全排列；对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以Amm.
跟踪训练3 (1)(2025·银川模拟)现有甲、乙等5名选调生前往A，B，C三个城市任职工作，若每名选调生只能去其中的一个城市，且每个城市至少安排1名选调生，其中甲和乙两人必须去同一个城市，则不同的安排方法种数是( )
A.18B.24C.36D.48
(2)6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案种数为( )
A.65B.1 560C.2 640D.4 560
答案精析
落实主干知识
1.一定的顺序
2.(1)不同排列 Anm
(2)不同组合 Cnm
3.n(n－1)(n－2)…(n－m+1) n！(n−m)！ n！m！(n−m)！ 1 n！
Cnm+Cnm−1
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.C [A63+C108＝A63+C102＝6×5×4+10×92×1＝165.]
3.C [首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，故不同排列方式共有A42A44＝288(种).]
4.7 200
解析 首先选出3名男同学和2名女同学，共有C53C42种情况，
再把选出来的人进行全排列，共有A55种情况.
所以不同的选派的方法种数为C53C42A55＝7 200.
探究核心题型
例1 解 (1)分两步完成，先选3人站前排，有A73种排法，余下4人站后排，有A44种排法，
故共有A73A44＝5 040(种)排法.
(2)方法一 (特殊元素优先法)
先排甲，有5种排列方法，其余6人有A66种排列方法，故共有5×A66＝3 600(种)排法.
方法二 (特殊位置优先法)
首尾位置可安排另6人中的两人，有A62种排法，其他位置有A55种排法，故共有A62A55＝3 600(种)排法.
(3)方法一 第一类，甲站在排尾，有A66＝720(种)排法；第二类，甲不站两端站中间，则甲有A51种排法，再排乙，也有A51种排法，剩下的5人有A55种排法，故有A51A51A55＝3 000(种)排法，故共有720+3 000＝3 720(种)排法.
方法二 (间接法)在不考虑限制条件时，有A77种排法；当甲站排头时，有A66种排法；当乙站排尾时，有A66种排法；当甲站排头且乙站排尾时，有A55种排法.所以符合限制条件的排法共有A77－A66－A66+A55＝3 720(种).
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种排法，再将女生全排列，有A44种排法，故共有A44A44＝576(种)排法.
(5)(插空法)先排女生，有A44种排法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种排法，故共有A44A53＝1 440(种)排法.
(6)(定序问题)7名学生站成一排，有A77种排法，其中3名男生的排法有A33种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故共有A77A33＝840(种)排法.
跟踪训练1 (1)B [根据题意，分2步进行分析：
①在其他4人中，选出1人，安排在甲、乙中间，有C41A22＝8(种)情况；
②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有A44＝24(种)排法.
则有8×24＝192(种)不同的站法.]
(2)72
解析 如果取一张数字“7”的卡片，则数字“2”“3”“5”的卡片都要取出，则组成A44＝24(个)不同的四位数；
如果取两张数字“7”的卡片，则数字“2”“3”“5”的卡片要取出两张，则组成C32A42＝36(个)不同的四位数；
如果取三张数字“7”的卡片，则数字“2”“3”“5”的卡片要取出一张，则组成C31A41＝12(个)不同的四位数，
所以最多能组成24+36+12＝72(个)不同的四位数.
例2 解 (1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，
所以有C103＝120(种)选法.
(2)注意到“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，
故可用间接法进行选取，
所以有C125－C51C74－C75＝596(种)选法.
(3)分三步进行，
第一步：选1名男生、1名女生分别担任体育委员和班长两个职务有C71C51种选法；
第二步：选2名男生、1名女生补足5人有C62C41种选法；
第三步：为这3人安排职务有A33种选法.
由分步乘法计数原理，
得共有C71C51C62C41A33＝12 600(种)选法.
跟踪训练2 (1)C [当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有C42＝6(种)；
当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有C21C42＝12(种)，
综上，安排方案共有6+12＝18(种).]
(2)D [按甲报的课程分为两类：
①若甲报剪纸，则从除了陶艺的其他4门课程中再选1门，有C41种结果，乙再从剩余4门课程中选2门，有C42种结果，则有C41C42＝24(种)方案；
②若甲不报剪纸，则从除了陶艺、剪纸的其他4门课程中选2门，有C42种结果，乙再从剩余除剪纸外的其他3门课程中选2门，有C32种结果，则有C42C32＝18(种)方案，
综上所述，共有24+18＝42(种)方案.]
例3 ACD [若4个小球分别放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故A正确；
恰有一个盒子不放球，先选一个盒子，再把4个小球分三组分配给三个盒子，则C41·C41C31C22A22·A33＝144(种)放法，故B错误；
恰有两个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个小球分为3，1或2，2两种情况，故共C42·C43C11+C42C22A22·A22＝84(种)放法，故C正确；
每个盒子只放一个小球，恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，首先选一个盒子放入编号相同的小球，剩下的3个小球不能放入编号相同的盒子，共有C41×2＝8(种)放法，故D正确.]
跟踪训练3 (1)C [第一类，甲、乙两人去一个城市，再把另外3人分成两组各去一个城市，有C32C11A33＝18(种)安排方法；
第二类，从除甲、乙之外的3人中选一人和甲、乙一起去一个城市，剩下的2人各去一个城市，有C31A33＝18(种)安排方法.
所以不同的安排方法有
18+18＝36(种).]
(2)B [分两种情况：
把6名大学生分为3，1，1，1四组，有C63种分法，再将4组对应四个学校，有A44种情况，由分步乘法计数原理得，共有C63A44＝480(种)安排方法；
把6名大学生分为2，2，1，1四组，有C62C42C21C11A22A22种分法，再将4组对应四个学校，有A44种情况，由分步乘法计数原理得，共有C62C42C21C11A22A22×A44＝1 080(种)安排方法，
综上，不同的分配方案共有480+1 080＝1 560(种).]
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照 排成一列
组合
作为一组
公
式
(1)Anm＝ ＝ (n，m∈N*，且m≤n).
(2)Cnm＝AnmAmm＝ (n，m∈N*，且m≤n).
性
质
(1)0！＝ ；Ann＝ .
(2)Cn0＝1；Cnm＝Cnn−m；Cn+1m＝ .
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法