新高考数学一轮复习考点学案第10章§10.1计数原理（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第10章§10.1计数原理（含答案解析），共18页。
课标要求 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝
种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )
(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )
2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有 种选法( )
A.11B.12C.30D.36
3.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有( )
A.22种B.33种C.300种D.3 600种
4.现有4种不同的颜色，对图中四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有 种.
题型一 分类加法计数原理
例1 (1)有红、黄、蓝的小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，并且不同的顺序表示不同的信号，则可表示不同的信号种数为( )
A.6B.12C.14D.15
(2)(2024·湛江模拟)某企业面试环节准备编号为1，2，3，4的四道试题，编号为1，2，3，4的四名面试者分别回答其中的一道试题(每名面试者回答的试题互不相同)，则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有( )
A.9种B.10种C.11种D.12种
思维升华 使用分类加法计数原理的两个注意点
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.
(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.
跟踪训练1 从集合{3，5，7，9，11}中任取两个数作为a，b，可以得到不同的焦点在x轴上的椭圆方程x2a2+y2b2＝1的个数为( )
A.25B.20C.10D.16
题型二 分步乘法计数原理
例2 (1)(2025·重庆模拟)无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7，8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有 种灯光组合( )
A.9B.12C.15D.18
(2)(多选)高二年级安排甲、乙、丙、丁四位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多位同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A.所有可能的安排方法有45种
B.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有369种
C.如果同学甲、乙、丙、丁中任何两人都不在同一个社区，则不同的安排方法有120种
D.如果甲与乙、甲与丙不能在同一个社区，则不同的安排方法共有400种
思维升华 利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.
(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成.
跟踪训练2 (1)(2024·徐州模拟)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有( )
A.18种B.48种C.108种D.192种
(2)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 .(用数字作答)
题型三 两个计数原理的综合应用
例3 (1)(2025·濮阳模拟)对一个四棱锥的各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有 种.(用数字作答)
(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A.48B.18
C.24D.36
思维升华 求完成一件事的方法种数的计算步骤
(1)审清题意，弄清要完成的事件是怎样的.
(2)分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种.
(3)弄清在每一类或每一步中的方法种数.
(4)根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.
跟踪训练3 (1)一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形的个数为 .
(2)数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右读与从右到左读都一样的整数，如22，121，3 443，94 249等，则10 000以内的自然数中，回文数有 个.
答案精析
落实主干知识
(1) m+n m1+m2+…+mn (2)m×n m1×m2×…×mn
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.C [6×(6－1)＝30.]
3.B [从甲地到乙地不同的出行方案数为5+10+6+12＝33.]
4.48
解析 将四个区域标记为A，B，C，D，如图所示，
第一步涂A，有4种涂法，第二步涂B，有3种涂法，第三步涂C，有2种涂法，第四步涂D，有2种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有4×3×2×2＝48(种)着色方法.
探究核心题型
例1 (1)D [挂一面旗时，有3种情况；
挂两面旗时，有3×2＝6(种)情况；
挂三面旗时，有3×2×1＝6(种)情况，
所以共3+6+6＝15(种)情况.]
(2)A [第一类，编号为1的面试者回答2号试题，则有2143，2341，2413，共3种情况；
第二类，编号为1的面试者回答3号试题，则有3142，3412，3421，共3种情况；
第三类，编号为1的面试者回答4号试题，则有4123，4312，4321，共3种情况.
所以共有3+3+3＝9(种)不同的情况.]
跟踪训练1 C [焦点在x轴上的椭圆方程中，必有a>b，
则a可取5，7，9，11，共4个可能，b可取3，5，7，9，共4个可能，
若a＝5，则b＝3，有1个满足条件的椭圆；
若a＝7，则b＝3，5，有2个满足条件的椭圆；
若a＝9，则b＝3，5，7，有3个满足条件的椭圆；
若a＝11，则b＝3，5，7，9，有4个满足条件的椭圆，
所以共有1+2+3+4＝10(个)满足条件的椭圆.]
例2 (1)B [先考虑6号，有3种颜色可选，则剩下的1至5号有2种颜色可选，7，8号也有2种颜色可选，所以一共有3×2×2＝12(种)灯光组合.]
(2)BCD [安排甲、乙、丙、丁四位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多位同学可以选择同一个社区进行活动，故有5×5×5×5＝54(种)安排方法，A错误；
如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有54－44＝369(种)，B正确；
如果同学甲、乙、丙、丁中任何两人都不在同一个社区，则不同的安排方法有5×4×3×2＝120(种)，C正确；
如果甲与乙、甲与丙不能在同一个社区，则不同的安排方法共有5×4×4×5＝400(种)，D正确.]
跟踪训练2 (1)D [因为甲不去北京，应该分步完成：
第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；
第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4×4×4＝64(种)选法，
由分步乘法计数原理，可得不同选法有3×64＝192(种).]
(2)336
解析 甲有7种站法，乙有7种站法，丙有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343(种)站法，其中三个人站在同一级台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336(种).
例3 (1)420
解析 根据题意可知，在四棱锥P－ABCD中，如图所示，
按照P－A－B－C－D的顺序进行着色，则P点有5种颜色可选，A点有4种颜色可选，B点有3种颜色可选，
若C点颜色与A点相同，则D点有3种颜色可选；
若C点颜色与A点不同，则C点有2种颜色可选，此时D点有2种颜色可选，
所以共有5×4×3×(1×3+2×2)＝420(种)不同的着色方法.
(2)D [正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有24+12＝36(个).]
跟踪训练3 (1)8
解析 如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；
如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个，
所以在这7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形的个数为6+2＝8.
(2)199
解析 一位回文数有0，1，2，…，9，共10个；
两位回文数有11，22，33，…，99，共9个；
三位回文数有101，111，121，…，191，202，…，999，共90个；四位回文数有1 001，1 111，1 221，…，1 991，2 002，2 112，2 222，…，2 992，…，9 009，9 119，9 229，…，9 999，共90个，
所以10 000以内的自然数中，回文数有10+9+90+90＝199(个).