(新高考)高考数学一轮考点复习8.4《椭圆》学案 (含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习8.4《椭圆》学案 (含详解)，共24页。

第四节　椭圆
核心素养立意下的命题导向
1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．


[理清主干知识]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a 2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性 质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)

顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

3．常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．

[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(椭圆的定义)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则＋＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．8
C．6 D．18
解析：选C　由定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
2．(椭圆的离心率)椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　∵椭圆方程为＋＝1，
∴a＝3，c＝＝＝.
∴e＝＝.故选B.
3．(椭圆的方程)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选D　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
所以解得a2＝9，b2＝8.
故椭圆C的方程为＋＝1.
4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.
解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝1，依题意知 ＝2，解得m＝.
答案：
二、易错点练清
1．(忽视椭圆定义中2a>|F1F2|) 到两定点F1(－2,0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
答案：B
2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
答案：4或8
3．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
答案：或

考点一　椭圆定义的应用
考法(一)　利用定义求轨迹方程
[例1]　(2021·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　 B.＋＝1
C.－＝1 D．＋＝1
[解析]　设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
[答案]　D
考法(二)　求解“焦点三角形”问题
[例2]　椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是(　　)
A．2(＋) B．4＋2
C.＋ D．＋2
[解析]　如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，
所以OM∥PF2，ON∥PF1，且
|OM|＝|PF2|，|ON|＝|PF1|，
所以四边形OMPN为平行四边形，
所以▱OMPN的周长为
2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，
所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2，
所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2＋2＝2(＋)，故选A.
[答案]　A
考法(三)　利用定义求最值
[例3]　设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[解析]　如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(－2,0)，
∴|AF′|＝＝.
∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4＋，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|
＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4－.
∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4－，4＋ ]．
[答案]　[4－，4＋ ]
[方法技巧]　椭圆定义应用的类型及方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
焦点三角形问题　
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值

[针对训练]
1．(多选)(2021·日照模拟)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则(　　)
A．△PF1F2的周长为12　　　 B．S△PF1F2＝2
C．点P到x轴的距离为 D．·＝2
解析：选BCD　由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，
故S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝|F1F2|·d＝×2d＝2，解得d＝，故C选项正确；
·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，故D选项正确．
2．(2021·惠州调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是________．
解析：由已知得2b＝2，故b＝1，
∴a2－c2＝b2＝1.　　　①
∵△F1AB的面积为，∴(a－c)b＝，
∴a－c＝2－. ②
由①②联立解得，a＝2，c＝.
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴＋＝＝＝，
又2－≤|PF1|≤2＋，
∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤＋≤4，
即＋的取值范围是[1,4]．
答案：[1,4]
考点二　椭圆的标准方程
[例1]　过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[解析]　法一：定义法
椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.
法二：待定系数法
设所求椭圆方程为＋＝1(k>－9)，将点(，－)的坐标代入，可得＋＝1，
解得k＝－5，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.
[答案]　C
[例2]　如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[解析]　由题意可得c＝5，设右焦点为F′，
连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C.
[答案]　C
[方法技巧]　求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)

[针对训练]
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1　　　　　　　 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正确
解析：选C　直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为＋＝1.
考点三　椭圆的几何性质
考法(一)　求椭圆的离心率
[例1]　(1)(2021·武汉模拟)已知椭圆方程为＋＝1，且a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．
(2)过椭圆C：＋＝1的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若＝3，则C的离心率为(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　(1)因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因为a，b，ab成等比数列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，椭圆方程为＋＝1，c＝＝，所以离心率e＝.故选C.
(2)由题意可得B(0，b)，F(－c,0)，
由＝3，得A，
又点A在椭圆上，则＋＝1，
整理可得·＝，
∴e2＝＝，e＝.故选D.
[答案]　(1)C　(2)D
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根. 　　
考法(二)　求椭圆的离心率的范围
[例2]　(1)(2021·湛江模拟)已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈，则离心率e的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若＋＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　(1)设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1， －y1)，
kPAkPB＝×＝.
又＋＝1，＋＝1，两式做差，代入上式得kPAkPB＝－∈，故0<<，
所以e＝ ∈.
(2)如图所示，设F′为椭圆的左焦点，
连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3.取P(0，b)，
∵点P到直线l：4x－3y＝0的距离不小于，
∴≥，解得b≥2.
∴c≤＝，∴0<≤.
∴椭圆E的离心率范围是.故选C.
[答案]　(1)B　(2)C
[方法技巧]　求椭圆离心率范围的2种方法
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系






考法(三)　与椭圆性质有关的最值或范围问题
[例3]　如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．4
[解析]　设P点坐标为(x0，y0)．
由题意知a＝2，∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆方程为＋＝1.∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.
又F(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
当x0＝－2时，·取得最大值4.故选C.
[答案]　C
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
[提醒]　求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．　　
[针对训练]
1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下述正确的是(　　)
A．椭圆C的长轴长为10
B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)
C．椭圆C的离心率等于
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝
解析：选ACD　∵16x2＋25y2＝400，∴＋＝1，
∴a＝5，b＝4，c＝3，e＝＝，
∴长轴长2a＝10，故A、C正确，B错误．
对于选项D，|PQ|＝＝，正确．故选A、C、D.
2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，直线l过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D　直线l的方程为y＝x±c，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦为AB，AB＝2c，设OC⊥AB，垂足为C，则OC＝＝c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2⇒a2＝2＋c2⇒a2＝c2⇒c＝a⇒e＝，故选D.
3．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　设P(x0，y0)，由题易知|x0|x＋y有解，即c2>(x＋y)min，又y＝b2－x，xb2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>，解得e>，又0
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
椭圆中的垂径定理：kAB·kOM＝－.
[证明]　设椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上的两点，
把点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，
得将两式作差并整理得
＋＝0，
记弦AB的中点为M(x0，y0)，
若x1≠x2，则＝－，
即·＝－，
从而kAB·＝－，即kAB·kOM＝－.
[应用体验]
1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选D　设AB的中点为M(1，－1)，
则kAB·kOM＝－，
而kAB＝kMF＝＝，kOM＝－1，
故×(－1)＝－，故a2＝2b2，①
又a2＝b2＋9，②
由①②解得a2＝18，b2＝9，
故椭圆E的方程为＋＝1.
2．如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为(　　)
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
解析：选C　易知kAB·kOM＝－＝－1＝e2－1.

二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A　由题意可得解得a＝4，b＝3，
因为椭圆的焦点坐标在y轴上，
所以椭圆方程为＋＝1.
2．(2021·宜昌夷陵中学模拟)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则(　　)
A．e1>e2
B．e1 C．e1＝e2
D．e1与e2的大小关系不能确定
解析：选A　设椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的长轴长分别为2a1,2a2，焦距分别为2c1,2c2.
由题意知a1>a2>0，c1>c2>0，且a1－c1＝a2－c2.
令a1－c1＝a2－c2＝t，t>0，则a1＝t＋c1，a2＝t＋c2.
所以＝＝＝1＋，
＝＝＝1＋.
因为c1>c2>0，t>0，所以<，
所以<，即e1>e2.故选A.

3.如图，点A，B分别是椭圆＋＝1(0 A. B．
C. D．
解析：选D　依题意得直线AP的方程为x－y＋5＝0，直线PF与x轴的交点为(4,0)，即F(4,0)，∴b2＝25－16＝9，即椭圆方程为＋＝1.设M(m,0)(－5≤m≤5)，则M到直线AP的距离为，又|MB|＝|5－m|，∴＝|5－m|，∵－5≤m≤5，∴＝5－m，解得m＝3，∴M(3,0)．设椭圆上的点(x，y)(x∈[－5,5])到M(3，0)的距离为d，则d2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋9＝x2－6x＋18＝2＋，
∵x∈[－5,5]，∴当x＝时，d2最小，此时dmin＝.
4．(多选)如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列命题中正确的是(　　)
A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值
B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C．曲线C所围区域的面积必小于36
D．曲线C的总长度不大于6π
解析：选BC　对于A，若点P在椭圆＋＝1上，则P到F1(－4，0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错；对于B，联立两个椭圆的方程得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；对于C，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故C正确；对于D，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故D错．故选B、C.


一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析：选AD　∵mx2＋ny2＝1，∴＋＝1，若m＞n＞0，∴0＜＜，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝，C是圆，半径为，C错误．若m＝0，n＞0，∴y2＝，∴y＝±，则C是两条直线，D正确．故选A、D.
2．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2　　　　　　　 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B　因为椭圆的离心率e＝＝，
所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．已知焦点在y轴上的椭圆 ＋＝1的长轴长为8，则m＝(　　)
A．4 B．8
C．16 D．18
解析：选C　椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A　∵△AF1B的周长为4，
∴由椭圆的定义可知4a＝4，
∴a＝，∵e＝＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程为＋＝1，故选A.
5．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝(　　)
A．1 B．
C. D．2
解析：选C　∵c＝＝1，b＝m，由∠F1AF2＝，得∠F1AO＝，
∴tan∠F1AO＝＝，解得m＝，故选C.
6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C. D．－1
解析：选D　由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.

二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．＋y2＝1或＋x2＝1
解析：选C　由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：选A　连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.
5．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0 A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
解析：选AD　设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
将y＝与椭圆方程联立，可解得A(－，)，B(，)，
又∵F(，0)，∴BA―→·＝(－2，0)·(－，－)＝6－6<0，∴△ABF不是直角三角形，C错误；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，
∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．
6．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则的值为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　由AF2⊥F1F2，可知＝＝，
∵OB∥AF2且O为F1F2中点，∴＝＝.
7．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选B　由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，∴a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，
当N，M，F2三点共线时取得最大值(如图)，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，
∴|NF2|的最大值为4.故选B.
8．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　)
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2－1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为
D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋
解析：选ACD　因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋＝1，＋＞1，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以＋＜1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋＜1，即a2－3a＋1＞0，解得a＞＝＝，所以＞，所以e＝＜，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确；若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故D正确．故选A、C、D.
9．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.
答案：＋＝1
10．设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．
解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，
又知△PF1F2的面积为9，∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，
∵△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，延长F2A交F1P于点M，由题意可知|PM|＝|PF2|，
由椭圆定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a，
故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.连接OA，知OA是△F1F2M的中位线，∴|OA|＝|MF1|＝a，
由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即c2＝a2，∴e＝＝.
答案：
12．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为________．
解析：∵∠F1AF2＝90°，
∴a＝b，即椭圆方程为＋＝1.
设M，A，B，且＋＝1，
即n2－b2＝－，
kAMkBM＝·＝＝＝－，
又kAM＝－1，∴kBM＝.
答案：
13．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(0 (1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
解：(1)由题设可得＝，解得m2＝，
所以C的方程为＋＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，
根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝yP，|BQ|＝.
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为，
故△AP1Q1的面积为××＝；
|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，
故△AP2Q2的面积为××＝.
综上，△APQ的面积为.
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中c＝，设B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
三、自选练——练高考区分度

1．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A　设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.
∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|.
又|BF1|＝5|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a.
∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．
如图所示，在Rt△AF2O中，
cos∠AF2O＝.
在△BF1F2中，由余弦定理可得
cos∠BF2F1＝＝，
根据cos∠AF2O＋cos∠BF2F1＝0，可得＋＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.故选A.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率e的取值范围为(　　)
A. B．(－1,1)
C. D．
解析：选A　如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos α，
∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝＝.
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈，
∴sin∈，
∴e∈.故选A.
3.如图所示，A1，A2是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．
解析：选A　由题意知A1(0,3)，A2(0，－3)．
设M(x0，y0)，N(x1，y1)，则直线MA1的斜率为kMA1＝.
由NA1⊥MA1，可得NA1的斜率为k NA1＝－.
于是直线NA1的方程为y＝－x＋3.　　①
同理，NA2的方程为y＝－x－3. ②
联立①②消去y，得x＝x1＝.
因为M(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y－9＝－，所以x1＝－，所以＝＝2.故选A.