新高考数学一轮复习考点学案第6章§6.1数列的概念（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第6章§6.1数列的概念（含答案解析），共18页。
课标要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1.数列的有关概念
2.数列的分类
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列.( )
(2)数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式只能是an＝1＋(−1)n＋12.( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.( )
2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用小石子来研究数.如图中的数1，5，12，22，…称为五边形数，则第8个五边形数是 .
3.已知数列{an}满足a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝ .
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋1，则an＝ .
1.灵活应用两个常用结论
(1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1,n＝1,Sn−Sn−1,n≥2,n∈N∗.
(2)在数列{an}中，若an最大，则an≥an−1,an≥an＋1;
若an最小，则an≤an−1,an≤an＋1,n≥2，n∈N*.
2.掌握数列的函数性质
由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：
(1)单调性——若an＋1>an，则{an}为递增数列；若an＋1 < ＝
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.92
解析 ∵5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，
∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，
∴第5个五边形数是22＋13＝35，第6个五边形数是35＋16＝51，第7个五边形数是51＋19＝70，第8个五边形数是70＋22＝92.
3.n(n＋1)2
解析 数列{an}满足a1＝1，
an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，
可得a1＝1，
a2－a1＝2，
a3－a2＝3，
a4－a3＝4，
…
an－an－1＝n，
以上各式相加可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2(n≥2)，又a1＝1符合该式，所以an＝n(n＋1)2.
4.−2,n＝1,2n−5,n≥2
解析 当n＝1时，a1＝S1＝－2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]
＝2n－5.
因为当n＝1时，不满足an＝2n－5，
所以an＝−2,n＝1,2n−5,n≥2.
探究核心题型
例1 (1)ACD [由Sn－1＝3an(n≥2)，
当n＝2时，S1＝a1＝3a2＝1，
解得a2＝13，所以a2＝13a1，
故A正确；
当n≥1时，可得Sn＝3an＋1，
所以Sn－Sn－1＝3an＋1－3an(n≥2)，
所以an＝3an＋1－3an(n≥2)，即an＋1＝43an(n≥2)，而a2＝13a1，故C正确，B不正确；
由Sn－1＝3an(n≥2)，
得Sn－1＝3(Sn－Sn－1)(n≥2)，
即SnSn−1＝43(n≥2)，所以数列{Sn}是等比数列，故D正确.]
(2)223
解析 当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，
a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋1，
a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝2n－1，
两式相减可得nan＝2，
所以an＝2n，
又当n＝1时，a1＝2，
所以a1不满足上式，
所以an＝3,n＝1,2n,n≥2,
所以1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝13＋22＋32＋42＋52＝223.
跟踪训练1 (1)A [因为3Sn＝an＋1，则3Sn＋1＝an＋1＋1，
两式相减可得3an＋1＝an＋1－an，
即2an＋1＝－an，
令n＝7，可得2a8＝－a7，
且an≠0，所以a8a7＝－12.]
(2)72
解析 因为Sn＝n2＋n，
则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝2，满足an＝2n，
故an＝2n，
则Sn＋9an＝n2＋n＋92n
＝12n＋9n＋12≥12·2n·9n＋12＝72，
当且仅当n＝9n，
即n＝3时取等号，
所以Sn＋9an的最小值为72.
例2 D [由题意可得
an＋1－an＝a1＋2n，
则可得a2－a1＝a1＋2，
a3－a2＝a1＋4，
…
a10－a9＝a1＋18，
将以上等式左右两边分别相加得
a10－a1＝9a1＋9×(2＋18)2＝9a1＋90，
即a10＝10a1＋90，
又a10＝130，所以a1＝4.]
例3 210
解析 ∵2anan＋1−an＝n，
∴2an＝n(an＋1－an)，
即nan＋1＝(n＋2)an，
可得an＋1an＝n＋2n，
∴a20a19×a19a18×a18a17×a17a16×…×a3a2×a2a1＝2119×2018×1917×1816×…×42×31，
∴a20a1＝21×202×1＝210，即a20＝210.
跟踪训练2 (1)A [当n＝1时，
S1＝a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n＋1)an−nan−12，
整理得(n－1)an＝nan－1，
方法一 即anan−1＝nn−1，由累乘法，
得an＝a2×a3a2×a4a3×…×anan−1＝6×32×43×…×nn−1＝3n(n≥2)，
又S2＝2＋12·a2＝a2＋a1，
解得a1＝3，满足上式，
综上，an＝3n(n∈N*).
方法二 即ann＝an−1n−1(n≥2)，
所以数列ann为常数列，
所以ann＝a22＝62＝3，
所以an＝3n(n∈N*).]
(2)191
解析 设该高阶等差数列为{an}，则{an}的前7项分别为1，2，4，7，11，16，22.
依题意a2－a1＝1，
a3－a2＝2，
a4－a3＝3，
…
a20－a19＝19，
相加可得a20－a1＝1＋2＋3＋…＋19＝19×202＝190.
所以a20＝190＋1＝191.
例4 C [由{an}为递增数列得，an＋1－an＝[2(n＋1)2＋λ(n＋1)]－(2n2＋λn)＝λ＋4n＋2>0，n∈N*，
则λ>－(4n＋2)对于n∈N*恒成立，得λ>－6，可得λ≥0⇒λ>－6，反之不行.]
例5 A [因为anan＋1＝an－1，an≠0，
所以an＋1＝1－1an，
又a1＝－2，则a2＝32，a3＝13，a4＝－2，
所以数列{an}的周期为3，且a1a2a3＝－1，
设数列{an}的前n项积为Tn，
则T2 025＝a1a2a3…a2 025＝(－1)675＝－1.]
例6 4 58
解析 方法一 ∵bn＋1－bn＝3n−42n－3n−72n−1＝10−3n2n，
∴当n≤3时，bn＋1>bn，{bn}单调递增，
当n≥4时，bn＋1a2>a3，a4>a5>a6>…>0，故数列{an}的最大项为a4，最小项为a3，故C正确；
由an∈Z，则92n−7∈Z，又n∈N*，所以n＝2或n＝3或n＝4或n＝5或n＝8，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确；
因为当n≤3时，an0，所以当n＝3时，Sn取得最小值，故D错误.]
概念
含义
数列
按照 排列的一列数
数列的项
数列中的
通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数
无穷数列
项数
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1 an
其中n∈N*
递减数列
an＋1 an
常数列
an＋1 an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列