新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第5章5.5复数（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第5章5.5复数（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
2．(2023·西安模拟)已知i是虚数单位，复数z满足z－i＝eq \f(3＋i,1＋i)，则复数z的共轭复数为( )
A．2 B．－2 C．2i D．－2i
3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(2＋ai)i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数eq \x\t(z)＋ai在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2024·梅州模拟)已知复数z1＝a＋i，a∈R，z2＝1－2i，且z1·eq \x\t(z)2为纯虚数，则|z1|等于( )
A.eq \r(3) B．2 C.eq \r(5) D.eq \r(6)
5．已知m，n为实数，1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＋n等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
6．(2023·齐齐哈尔模拟)已知复数z1与z＝3＋i在复平面内对应的点关于实轴对称，则eq \f(z1,2＋i)等于( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
7．(2024·沧州模拟)设复数z满足|z－1＋i|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
8．(2023·贵阳模拟)欧拉公式exi＝cs x＋isin x由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是( )
A．对应的点位于第二象限
B．为纯虚数
C.eq \f(eπi,\r(3)＋i)的模为eq \f(1,2)
D．的共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i
二、多项选择题
9．(2023·衡阳模拟)已知i为虚数单位，则下列结论中正确的是( )
A．i＋i2＋i3＋i4＝0
B．3＋i>1＋i
C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2
D．复数－2－i的虚部为－1
10．已知复数z1，z2，eq \x\t(z)1为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是( )
A．z1＋eq \x\t(z)1为实数
B．|eq \x\t(z)1|＝|z1|
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2
D．|z2eq \x\t(z)1|＝|z2z1|
三、填空题
11．(2024·天津模拟)已知i是虚数单位，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4＋2i,1－i)))的值为________．
12．写出一个同时满足①②的复数z＝________.
①z3＝eq \x\t(z)；②z∉R.
13．(2023·潍坊模拟)在复平面内，复数z与eq \f(2,1－i)对应的点关于虚轴对称，则z＝________.
14．(2023·成都检测)已知|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最大值为________．
15．已知复数z1，z2和z满足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|，则|z|的最大值为( )
A．2eq \r(3) B．3 C.eq \r(3) D．1
16．在复平面内，已知点A(－1,0)，B(0,3)，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，且满足|z1|＝|z2|＝2，Z1Z2＝4，则eq \(AZ1,\s\up6(—→))·eq \(BZ2,\s\up6(—→))的最大值为__________．
§5.5 复 数
1．B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.B
7．D
8．D [对于A，＝cs eq \f(2π,3)＋isin eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，对应的点位于第二象限，故A正确；
对于B，＝cs eq \f(π,2)＋isin eq \f(π,2)＝i，为纯虚数，故B正确；
对于C，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(eπi,\r(3)＋i)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs π＋isin π,\r(3)＋i)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－1,\r(3)＋i)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)＋\f(i,4)))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2)＝eq \f(1,2)，故C正确；
对于D，＝cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i，所以的共轭复数为eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i，故D错误．]
9．AD [对于A，由虚数的运算性质，可得i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正确；
对于B，虚数不能比较大小，故B不正确；
对于C，当z＝i时，|z|2＝1，z2＝－1，此时|z|2≠z2，故C不正确；
对于D，根据复数的概念，可得复数－2－i的虚部为－1，故D正确．]
10．ABD [设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)1＝x－yi，
对于A，z1＋eq \x\t(z)1＝2x∈R，故A正确；
对于B，|z1|＝eq \r(x2＋y2)，|eq \x\t(z)1|＝eq \r(x2＋y2)，∴|eq \x\t(z)1|＝|z1|，故B正确；
对于C，当z1＝3＋4i，z2＝5时，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故C错误；
对于D，z2eq \x\t(z)1＝(a＋bi)(x－yi)＝(ax＋by)＋(bx－ay)i，|z2eq \x\t(z)1|＝eq \r(ax＋by2＋bx－ay2)＝eq \r(x2＋y2a2＋b2)，z2z1＝(a＋bi)(x＋yi)＝(ax－by)＋(bx＋ay)i，|z2z1|＝eq \r(ax－by2＋bx＋ay2)＝eq \r(x2＋y2a2＋b2)，
∴|z2eq \x\t(z)1|＝|z2z1|，故D正确．]
11.eq \r(10) 12.i(或－i)
13．－1＋i
解析 由题意得eq \f(2,1－i)＝1＋i，
∵复数z与eq \f(2,1－i)对应的点关于虚轴对称，∴z＝－1＋i.
14．2eq \r(2)＋1
解析 设z＝x＋yi，其中x，y∈R，
由|z|＝1，可得x2＋y2＝1，
根据复数z的几何意义可得复数z表示以原点O为圆心，1为半径的单位圆，
则|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝eq \r(x－22＋y－22)，
可得|z－2－2i|表示单位圆上的点到点P(2,2)的距离，
因为PO＝2eq \r(2)，
所以|z－2－2i|的最大值为PO＋r＝2eq \r(2)＋1.
15．B [根据题意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3，
当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，此时|z|＝3，所以|z|max＝3.]
16．2eq \r(10)－4
解析 因为复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，
且|z1|＝|z2|＝2，则可确定点Z1，Z2在以O为圆心，2为半径的圆上，
又Z1Z2＝4，所以Z1Z2为圆的直径，即Z1，Z2关于原点对称，所以eq \(OZ1,\s\up6(—→))＝－eq \(OZ2,\s\up6(—→))，
因为eq \(AZ1,\s\up6(—→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OZ1,\s\up6(—→))，eq \(BZ2,\s\up6(—→))＝eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(—→))，
所以eq \(AZ1,\s\up6(—→))·eq \(BZ2,\s\up6(—→))＝(eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OZ1,\s\up6(—→)))·(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(—→)))＝eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(OZ2,\s\up6(—→))＋eq \(OZ1,\s\up6(—→))·eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OZ1,\s\up6(—→))·eq \(OZ2,\s\up6(—→))＝(1,0)·(0，－3)－eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(OZ1,\s\up6(—→))＋eq \(OZ1,\s\up6(—→))·eq \(BO,\s\up6(→))＋2×2×cs(－π)＝－4＋eq \(OZ1,\s\up6(—→))·eq \(BA,\s\up6(→))，
又|eq \(BA,\s\up6(→))|＝eq \r(－12＋－32)＝eq \r(10)，|eq \(OZ1,\s\up6(—→))|＝2，〈eq \(OZ1,\s\up6(—→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉∈[0，π]，
则cs〈eq \(OZ1,\s\up6(—→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉∈[－1,1]，
所以eq \(OZ1,\s\up6(—→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝|eq \(OZ1,\s\up6(—→))||eq \(BA,\s\up6(→))|cs〈eq \(OZ1,\s\up6(—→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉＝2eq \r(10)cs〈eq \(OZ1,\s\up6(—→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉，
即eq \(OZ1,\s\up6(—→))·eq \(BA,\s\up6(→))的最大值为2eq \r(10)，
所以eq \(AZ1,\s\up6(—→))·eq \(BZ2,\s\up6(—→))的最大值为2eq \r(10)－4.