新高考数学一轮复习课件 第5章　§5.3　平面向量的数量积（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习课件 第5章　§5.3　平面向量的数量积（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，∠AOB，a·b，投影向量，acosθe，b·a，λa·b，a·λb等内容，欢迎下载使用。

1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
1.向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 ，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 .
3.平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量， ＝a， ＝b，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到
，我们称上述变换为向量a向向量b ， 叫做向量a在向量b上的 .记为 .
4.向量数量积的运算律(1)a·b＝ .(2)(λa)·b＝ ＝ .(3)(a＋b)·c＝ .
5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
x1x2＋y1y2＝0
1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　　)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(　　)(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　　)
2.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______.
3.若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于____；a与b夹角的余弦值等于_____.
因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
平面向量数量积的基本运算
∴四边形ABCD为平行四边形，
如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
∴B(－3,0)，C(3,0)，
计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
跟踪训练1　(1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则 的值为A.－2 B.2 C.1 D.4
设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，
例2　已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝ ，则|a＋2b|等于
根据向量的运算法则和数量积的定义，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
例4　(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝______.
(1)求平面向量的模的方法
②几何法：利用向量的几何意义.(2)求平面向量的夹角的方法
(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
由此可得△OAB是一个等边三角形，
设e1与a的夹角为θ，因为e1·a＝2＝|a|cs θ，所以a在e1上的投影向量为(|a|cs θ)e1＝2e1，故D正确.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于A.－6 B.－5 C.5 D.6
由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cs〈a，c〉＝cs〈b，c〉，
例5　在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是
根据题意可得G＝F1＋F2，
当θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，
且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；
用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3　(2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cs θ等于
由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
即10×4cs θ＋42＝0，
1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于
2.(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于
∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，
将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cs θ＋3|b|2＝3|a|2，
如果只有一个等式不成立，则该等式为A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立.
9.已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为_____.
由b＝(－1,0)，得|b|＝1，因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，所以a·b＋2b2＝0，所以|a||b|cs〈a，b〉＋2|b|2＝0，因为|a|＝4，
11.(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则A.当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 NB.当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0C.当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 ND.当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
由题意知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图①知|F2|＝5 N，故A正确；如图②，物体所受合力应等于向量 与F2的和向量的大小，显然B错误；当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4 N，C正确；
即3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N，故D正确.
12.已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是
因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，所以a·b＝6＋m，
13.(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cs α，sin α)，P2(cs β，sin β)，P3(cs(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是
16.在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知图①中正三角形的边长为3，则图③中 的值为____.