新高考数学一轮复习教师用书：第五章　2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示学案

这是一份新高考数学一轮复习教师用书：第五章　2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示学案，共18页。

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示


1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
[教材衍化]
1．(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)
A．(2，2)　　　　　　　 B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
解析：选D.由题意得＝或＝，＝(3，－3)．设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)，当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.
2．(必修4P97例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案：(1，5)
3．(必修4P119A组T9改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________．
解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，所以＝－.
答案：－
[易错纠偏]
(1)忽视基底中基向量不共线致错；
(2)弄不清单位向量反向的含义出错；
(3)不正确运用平面向量基本定理出错．
1．给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝，c＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．
解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
答案：2
2．已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量反向的单位向量为________．
解析：由已知得＝(12，－5)，所以||＝13，因此与反向的单位向量为－＝.
答案：
3.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．
解析：因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.
答案：


　　　　　　平面向量基本定理及其应用
(1)已知平行四边形ABCD中，点E，F满足＝2，＝3，则＝________(用，表示)．
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
【解析】　(1)如图所示，＝＝(＋)，＝＝(－)，所以＝＋＋＝－(＋)＋＋(－)＝－＋.

(2)因为＝＋，
所以3＝2＋，
即2－2＝－，
所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－
＝λ－＝＋，
又＝t＝t(－)＝t
＝－t.
故解得故t的值是.
【答案】　(1)－＋　(2)

1．(变问法)在本例(2)中，试用向量，表示.
解：因为＝＋，
所以3＝2＋，即2－2＝－，
2＝，所以＝，
＝－＝－.
2．(变问法)在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？
解：由本例(2)的解析＝＋及λ＝，＝2知，＝λ(－)＋
＝＋(1－λ)
＝λ＋(1－λ)＝.
因此点M是AQ的中点．

平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　

1．(2020·温州七校联考)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°.若向量＝a，＝b，则＝(　　)
A.a－b
B．－a＋b
C．－a＋b
D.a＋b
解析：选B.根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°.
以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形．由CD＝1，得CE＝ED＝，则A(1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D，所以＝(－1，0)，＝(－1，1)，＝.令＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
则有得
则＝－a＋b，故选B.
2．在平行四边形ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n(m，n∈R)，则的值是________．
解析：法一：根据题意可知△AFE∽△CFB，所以＝＝，故＝＝＝(－)＝＝－，所以＝＝－2.
法二：如图，＝2，＝m＋n，所以＝＋＝m＋(2n＋1)，因为F，E，B三点共线，所以m＋2n＋1＝1，所以＝－2.
答案：－2

　　　　　　平面向量的坐标运算
已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．

向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．　
　在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于(　　)
A．(－2，7)　　　　　　　　　 B．(－6，21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析：选B.＝3＝3(2－)＝6－3＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．

　　　　　　平面向量共线的坐标表示(高频考点)
平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．主要命题角度有：
(1)利用两向量共线求参数；
(2)利用两向量共线求向量坐标；
(3)三点共线问题．
角度一　利用两向量共线求参数
(2020·浙江省名校联考)已知向量a＝(m，1)，b＝(1－n，1)(其中m，n为正数)，若a∥b，则＋的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．3＋2 D．2＋3
【解析】　已知a＝(m，1)，b＝(1－n，1)(其中m，n为正数)，若a∥b，则m－(1－n)＝0，即m＋n＝1.
所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝时取等号，故＋的最小值是3＋2，故选D.
【答案】　D
角度二　利用两向量共线求向量坐标
已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________．
【解析】　由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．
【答案】　(4，7)
角度三　三点共线问题
已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－ B.
C. D.
【解析】　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【答案】　A

(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．　
　已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要条件．

核心素养系列11　数学运算——平面向量与三角形的“四心”
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则
(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.
一、平面向量与三角形的“重心”问题
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A．△ABC的内心　　　　 B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心 D．AB边的中点
【解析】　取AB的中点D，则2＝＋，
因为＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]
＝＋，
而＋＝1，所以P，C，D三点共线，
所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
【答案】　C
二、平面向量与三角形的“内心”问题
在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A.　　　B.　　　C．4　　　D．6
【解析】　根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍．
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.
设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，
所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.
【答案】　B
三、平面向量与三角形的“垂心”问题
已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．重心 B．垂心
C．外心 D．内心
【解析】　因为＝＋λ，
所以＝－＝λ，
所以·＝·λ
＝λ(－||＋||)＝0，
所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
【答案】　B
四、平面向量与三角形的“外心”问题
已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则⊥，⊥，
＝－＝－(x＋y)＝－y，＝－＝－(x＋y)＝－x.
由⊥，得2－y·＝0，①
由⊥，得2－x·＝0，②
又因为2＝(－)2＝2－2·＋，
所以·＝＝－，③
把③代入①，②得解得x＝，y＝.
故实数对(x，y)为.
【答案】　A

[基础题组练]
1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于(　　)
A．－a＋b　　　　　　　 B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
解析：选B.设c＝λa＋μb，则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以所以所以c＝a－b.
2．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．－2
C．±2 D．0
解析：选B.因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x，1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2.
3．已知A(1，4)，B(－3，2)，向量＝(2，4)，D为AC的中点，则＝(　　)
A．(1，3) B．(3，3)
C．(－3，－3) D．(－1，－3)
解析：选B.设C(x，y)，则＝(x＋3，y－2)＝(2，4)，所以解得即C(－1，6)．由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．
4．(2020·温州瑞安七中高考模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A．－8 B．－4
C．4 D．2
解析：选C.设正方形的边长为1，则易知c＝(－1，－3)，
a＝(－1，1)，b＝(6，2)；因为c＝λa＋μb，
所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
解得λ＝－2，μ＝－，故＝4.
5．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.
6．(2020·金华十校联考)已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是(　　)
A.－1 B.－1
C.＋1 D.＋1
解析：选A.设点P(x，y)，动点P满足||＝1可得x2＋(y＋2)2＝1.
根据＋＋的坐标为(＋x，y＋1)，可得|＋＋|＝，表示点P(x，y)与点Q(－，－1)之间的距离．
显然点Q在圆C：x2＋(y＋2)2＝1的外部，求得QC＝，|＋＋|的最小值为QC－1＝－1，
故选A.
7．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________．
解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又因为θ为锐角，所以θ＝.
答案：
8．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则ab的最大值为________．
解析：易知＝(a－1，1)，＝(－b－1，2)，由A，B，C三点共线知∥，故2(a－1)－(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1.
由基本不等式可得1＝2a＋b≥2，当且仅当2a＝b时等号成立，所以ab≤，
即ab的最大值为.
答案：
9．(2020·台州质检)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a＝(cos C，b－c)，向量b＝(cos A，a)且a∥b，则tan A＝________．
解析：a∥b⇒(b－c)cos A－acos C＝0，即bcos A＝ccos A＋acos C，再由正弦定理得sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A⇒sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝，所以sin A＝，tan A＝＝.
答案：
10．如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．

解析：因为∠DEB＝∠ABC＝45°，
所以AB∥DE，
过D作AB，AC的垂线DM，DN，
则AN＝DM＝BM＝BD·sin 45°＝，
所以DN＝AM＝AB＋BM＝2＋，
所以＝＋＝＋，
所以λ＝，μ＝，
所以λ＋μ＝1＋.
答案：1＋
11．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？
解：由题设，知＝d－c＝2b－3a，
＝e－c＝(t－3)a＋tb.
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
①若a，b共线，则t可为任意实数；
②若a，b不共线，则有
解之得t＝.
综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；
a，b不共线时，t＝.
12．(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且|DM|＝1，|DN|＝2，∠MDN＝.
(1)试用向量，表示向量，；
(2)求||，||；
(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点)，若＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如图所示，
＝＋＝－；
＝＋＝＋＝－.
(2)由(1)知＝－，＝－，
所以||＝＝，
||＝＝.
(3)由重心性质知：＋＋＝0，所以有：
0＝x＋y＋＝x(－)＋y(－)－＝(x＋y－1)＋(－x)＋(－y).
所以(x＋y－1)∶(－x)∶(－y)＝1∶1∶1⇒x＝y＝.
[综合题组练]
1．(2020·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝.若动点P满足＝(1－λ)＋(λ∈R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为(　　)
A．5 B．10
C．2 D．4
解析：选A.设＝，因为＝(1－λ)＋＝(1－λ)＋λ，所以B，D，P三点共线．所以P点轨迹为直线BC.在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝，所以sin C＝，所以S△ABC＝×7×6×＝15，所以S△BCD＝S△ABC＝5.
2．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围是(　　)
A．[－6，1] B．[4，8]
C．(－∞，1] D．[－1，6]
解析：选A.由a＝2b，得
所以
又cos2α＋2sin α＝－sin2 α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m≤2，
将λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，得≤m≤2，所以＝＝2－∈[－6，1]．
3．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________________．
解析：由题意得＝(－3，1)，＝(2－m，1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.
答案：m≠
4．(2020·浙江名校新高考研究联盟联考)如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F为BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动，E为圆弧与AB的交点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是________．
解析：建立平面直角坐标系如图所示，

则A(0，0)，E(1，0)，D，B(2，0)，
C，F；
设P(cos α，sin α)(0°≤α≤60°)，
因为＝λ＋μ，
所以(cos α，sin α)＝λ＋μ.
所以
所以2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－30°)，
因为0°≤α≤60°，所以－1≤2sin(α－30°)≤1.
答案：[－1，1]
5．(2020·嘉兴模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．
解：(1)＝t1＋t2
＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，有
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．
因为＝－＝(4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，且有公共点A，
所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．
6．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一：因为A、B、C三点共线，
所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以，解得m＝.
法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A、B、C三点共线，所以∥.
所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.