新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第5章5.2平面向量基本定理及坐标表示（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第5章5.2平面向量基本定理及坐标表示（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一个基底的是( )
A．e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(4，－2)，e2＝(－2,1)
C．e1＝(3,3)，e2＝(－1,1)
D．e1＝(2,3)，e2＝(－1,3)
2．(2024·齐齐哈尔模拟)已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x等于( )
A．1或－eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3)或eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
3．(2023·洛阳模拟)已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝2eq \r(13)，则a等于( )
A．(－6,4) B．(－4,6)
C．(4，－6) D．(6，－4)
4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且|eq \(AG,\s\up6(→))|＝2|eq \(GD,\s\up6(→))|，那么点C的坐标为( )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4,2)
5．(2023·漳州模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(EG,\s\up6(→))＝λeq \(EF,\s\up6(→))，则λ等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
6．(2023·成都模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC为直径的半圆上有一点M，eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋eq \r(3)λeq \(BA,\s\up6(→))(λ≠0)，则λ等于( )
A.eq \f(\r(3)＋1,4) B.eq \f(\r(3)＋1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
二、多项选择题
7．(2023·昆明模拟)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B.eq \f(1,2) C．1 D．－1
8.如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则( )
A.eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
B.eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
D.eq \(FQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))
三、填空题
9．(2023·南京模拟)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量eq \(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量的坐标是________．
10．已知向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ＝________.
11.如图，已知平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
12．(2024·曲靖模拟)已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AD,\s\up6(→)) (mn≠0)，若eq \(MN,\s\up6(→))∥eq \(BE,\s\up6(→))，则eq \f(n,m)＝________.
四、解答题
13.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，B，C在第一象限，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，∠OAB＝eq \f(2π,3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(3))．
(1)求点B，C的坐标；
(2)判断四边形OABC的形状，并求出其周长．
14．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，eq \r(3))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2B，2cs2\f(B,2)－1))，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝1，求△ABC面积的最大值．
15.(2024·合肥模拟)古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ等于( )
A.eq \r(2)－1 B．1－eq \r(2)
C.eq \r(2)＋1 D．－eq \r(2)－1
16.给定两个长度为3的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________；2x＋y的最大值是________．
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
1．B 2.A 3.C 4.C 5.C
6．A [以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0,1)，C(1,0)，AC＝eq \r(2)，
设D为AC的中点，则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))).
则以AC为直径的圆的方程为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(1,2)，
设M(x，y)，则eq \(BM,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(BA,\s\up6(→))＝(0,1)，
eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋eq \r(3)λeq \(BA,\s\up6(→))＝(λ，eq \r(3)λ)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝λ，,y＝\r(3)λ，))
由点M在圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(1,2)上，
可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)λ－\f(1,2)))2＝eq \f(1,2)，
即4λ2－(1＋eq \r(3))λ＝0，
解得λ＝eq \f(\r(3)＋1,4)或λ＝0(舍去)．]
7．ABD
8．ABC [建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，
设Q(x,0)，则根据题意可得A(0,2)，D(2,2)，C(2,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)))，B(0,0)，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AQ,\s\up6(→))＝(x，－2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(4,3)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2,0)，
由于eq \(AE,\s\up6(→))∥eq \(AQ,\s\up6(→))，所以－eq \f(4,3)x＝－2×eq \f(2,3)，
解得x＝1，故Q(1,0)，
对于A，eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(4,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3)))＝(2，－2)＝eq \(AC,\s\up6(→))，故A正确；对于B，eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×(0，－2)＋eq \f(1,3)×(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(4,3)))＝eq \(AE,\s\up6(→))，故B正确；对于C，eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)×(0，－2)＋eq \f(2,3)×(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3)))＝eq \(AF,\s\up6(→))，故C正确；对于D，eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×(0，－2)＋eq \f(1,6)×(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(4,3)))，eq \(FQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(4,3)))，故D错误．]
9.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) 10.6
11．6
解析 方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB1,\s\up6(—→))＋eq \(OA1,\s\up6(—→))，
因为eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，
eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
所以|eq \(OB1,\s\up6(—→))|＝2，|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以|eq \(OA1,\s\up6(—→))|＝|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
C(3，eq \r(3))．
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.))所以λ＋μ＝6.
12．2
解析 依题意设eq \(MN,\s\up6(→))＝λeq \(BE,\s\up6(→))，
则eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝－meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))＝λ(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))，
即－meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)λeq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＝－\f(1,2)λ，,n＝λ，))
故eq \f(n,m)＝2.
13．解 (1)在平面直角坐标系中，
由|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2，知A(2,0)，
设B(xB，yB)，
又∠OAB＝eq \f(2π,3)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，
则xB＝2＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,3)))＝eq \f(5,2)，
yB＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，
∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2))).
又eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(3))，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))＋(－1，eq \r(3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
(2)由(1)可得eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→)).
∴eq \(OC,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝3|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3.
又|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋3)＝2，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
∵|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，
|eq \(OC,\s\up6(→))|＝3，
∴四边形OABC的周长为8.
14．解 (1)由于m∥n，
所以2sin(A＋C)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(B,2)－1))＝eq \r(3)cs 2B，
即2sin Bcs B＝eq \r(3)cs 2B，
即sin 2B＝eq \r(3)cs 2B，tan 2B＝eq \r(3)，
由于B是锐角，
所以0