新高考数学一轮复习考点学案第4章§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式（含答案解析）

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1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝ ；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝ ；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2.辅助角公式
asin α＋bcs α＝ ，其中sin φ＝ba2＋b2，cs φ＝aa2＋b2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1−tanαtanβ对任意角α，β都成立.( )
(4)公式asin x＋bcs x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关.( )
2.12sin π12－32cs π12的值为( )
A.0B.－22
C.1D.22
3.若2cs α－sin α＝0，则tanα−π4等于( )
A.－13B.13
C.－3D.3
4.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .
谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)若csπ4＋αcsπ4−α＝3，则tanα＋π4等于( )
A.－3B.－13
C.13D.3
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cs(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cs(α－β)等于( )
A.－3mB.－m3
C.m3D.3m
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
跟踪训练1 (1)已知sinα＋π3＝sinα−π6，则tan α等于( )
A.3B.2＋3
C.6D.6＋3
(2)(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝2＋1，则sin(α＋β)＝ .
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
例2 (1)在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan Atan B，则C的值为( )
A.π6B.π4
C.π3D.2π3
(2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝3sin x＋4cs x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则csθ＋π4等于( )
A.7210B.－7210
C.210D.－210
思维升华 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
(3)对asin x＋bcs x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值.
跟踪训练2 (1)(2024·柳州模拟)已知α∈(0，π)，若3sin α＋cs α＝3sin 2α－cs 2α，则sinα−π12等于( )
A.22B.32
C.6＋24D.6−24
(2)已知函数f(x)＝sin x－3cs x，不等式f(x)≤a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 .
题型三 角的变换问题
例3 (1)(2024·南宁模拟)已知sinα＋π3＝35，α∈π4，π2，则sinα＋π12等于( )
A.－210B.－7210
C.210D.7210
(2)(2024·徐州模拟)已知角α，β满足cs β＝13，cs αcs(α＋β)＝14，则cs(2α＋β)等于( )
A.13B.14
C.16D.18
思维升华 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋β2＋α−β2，π3＋α＝π2－π6−α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，π4＋α＋π4−α＝π2等.
跟踪训练3 (1)已知sinα＋π4＝45，α∈π4，π2，则cs α等于( )
A.210B.3210
C.22D.7210
(2)(2024·杭州模拟)已知α∈π2，π，β∈0，π2，若sin(α＋β)＝13，cs β＝33，则sin α等于( )
A.63B.39
C.539D.13
答案精析
落实主干知识
1.(1)cs αcs β＋sin αsin β
(2)cs αcs β－sin αsin β
(3)sin αcs β－cs αsin β
(4)sin αcs β＋cs αsin β
(5)tanα−tanβ1＋tanαtanβ (6)tanα＋tanβ1−tanαtanβ
2.a2＋b2sin(α＋φ)
自主诊断
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.B [12sin π12－32cs π12
＝cs π3sin π12－sin π3cs π12
＝sinπ12−π3＝sin−π4＝－22.]
3.B [因为2cs α－sin α＝0，
则sin α＝2cs α，故tan α＝2，
因此，tanα−π4＝tanα−tan π41＋tanαtan π4＝2−11＋2＝13.]
4.17
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝tan(α＋β)−tanα1＋tan(α＋β)tanα＝12−131＋12×13
＝17.
探究核心题型
例1 (1)C [由题意，
得22(csα−sinα)22(csα＋sinα)＝1−tanα1＋tanα＝3，
所以tan α＝－12，
则tanα＋π4＝tanα＋11−tanα
＝−12＋11−−12＝13.]
(2)A [由cs(α＋β)＝m得
cs αcs β－sin αsin β＝m.①
由tan αtan β＝2得sinαsinβcsαcsβ＝2，②
由①②得csαcsβ＝−m,sinαsinβ＝−2m,
所以cs(α－β)
＝cs αcs β＋sin αsin β＝－3m.]
跟踪训练1 (1)B [因为sinα＋π3＝sinα−π6，
所以12sin α＋32cs α
＝32sin α－12cs α，
所以(3＋1)cs α＝(3－1)sin α，
所以tan α＝3＋13−1＝2＋3.]
(2)－223
解析 由题意得tan(α＋β)
＝tanα＋tanβ1−tanαtanβ＝41−(2＋1)
＝－22，
因为α∈2kπ，2kπ＋π2，
β∈2mπ＋π，2mπ＋3π2，k，m∈Z，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，
(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α＋β)＝－22