第三章 第三节 导数与函数的极值最值-2022届（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第三节  导数与函数的极值最值

知识回顾

1．函数的极值与导数

2.函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．

课前检测

1．函数f (x)＝2x－xln x的极值是(　　)

2.若函数在区间,上有最小值，则实数的取值范围是(　　)

A．    
B．                     
C．，           
D．

3．(多选)函数y＝f (x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　　)

A．－3是函数y＝f (x)的极值点

B．－1是函数y＝f (x)的最小值点

C．y＝f (x)在区间(－3,1)上单调递增

D．y＝f (x)在x＝0处切线的斜率小于零

4.已知函数 在 处取得极值 ，则 ________ ．

5．已知函数f (x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f (x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________．

课中讲解

考点一.利用导数研究函数的极值

1.   函数图像判断极值

例1.如下图，直线 与曲线 交于 、 两点，其中 是切点，记 ，，则下列判断正确的是(　　)

A． 只有一个极值点
B． 有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C． 的极小值点小于极大值点，且极小值为
D． 的极小值点大于极大值点，且极大值为

变式1.函数 的导函数 的图象如图所示，则(　　)

A． 是最小值点
B． 是极小值点
C． 是极小值点
D．函数 在 上单调递增

2.   已知函数求极值

例2.【2020年陕西西安西安市第八十三中学高二上学期期末考试数学试卷（理）】若 是函数 的极值点，则 的极小值为(　　)

A． B．
C． D．

变式2.设函数 ，求函数 的极值．

变式3.设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．

3.   已知极值点求参数的范围

例3.【2021年江西南昌东湖区南昌市第二中学高二上学期期末考试数学试卷（文）】设函数 ，若 是 的极大值点，则 的取值范围为________ ．

变式4.【2020年湖北武汉高二下学期期中考试数学试卷（五校联考）】已知函数 的极大值为 ，若函数 在 上的极小值不大于 ，则实数 的取值范围是(　　)

A．
B．
C．
D．

例4.已知函数 ，若 有极小值且极小值为 ，求 的值．

变式5.若函数 存在极值，且这些极值的和不小于 ，则 的取值范围为(　　)

A．
B．
C．
D．

考点二.利用导数研究函数的最值

例1　已知函数f (x)＝＋kln x，k<，求函数f (x)在上的最大值和最小值．

变式1.已知函数 ．

(1) 当 时，求函数 的单调区间；

(2) 若函数 在 上的最小值是 ，求 的值．

例2.已知函数，若，求函数在区间上的最大值．

变式2．已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b为常数且a≠0)在x＝1处取得极值．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值．

考点三.利用导数研究函数极值与最值的综合问题

例1.已知函数f(x)＝ln x＋x2－ax＋a(a∈R)．

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥ x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．

变式1.已知函数f(x)＝(a＞0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．

课后习题

一．单选题

1.已知函数 ，在 时极值为 ，则 为(　　)

A．
B．
C． 或
D．不存在

2.若函数 存在唯一的极值点，且此极值小于 ，则实数 的取值范围为(　　)

A．
B．
C．
D．

3.函数f (x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f (x)(　　)

A．无极大值点、有四个极小值点

B．有三个极大值点、一个极小值点

C．有两个极大值点、两个极小值点

D．有四个极大值点、无极小值点

4． 已知直线y＝a分别与函数y＝ex＋1和y＝交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是(　　)

A.  B.

C.  D.

5．(2020·苏锡常镇调研)f (x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是(　　)

A．1＋   B．1

C．e＋1   D．e－1

6．若函数f (x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f (x)≥0成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．[2，＋∞)   B．[4，＋∞)

C．{4}   D．[2,4]

二．多选题

7．(多选)对于函数f (x)＝，下列说法正确的有(　　 )

A．f (x)在x＝e处取得极大值

B．f (x)有两个不同的零点

C．f (2)＜f (π)＜f (3)

D．若f (x)＜k－在(0，＋∞)上恒成立，则k＞1

8．(多选)关于函数f (x)＝x2(ln x－a)＋a，以下4个结论中正确的是(　　)

A．∃a＞0，∀x＞0，f (x)≥0

B．∃a＞0，∃x＞0，f (x)≤0

C．∀a＞0，∀x＞0，f (x)≥0

D．∀a＞0，∃x＞0，f (x)≤0

三．填空题

9.已知有极大值又有极小值，则的取值范围是________．

10.已知，若在区间上有极值点，则的取值范围是 ________ ．

11． 若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，则实数a的取值范围是________．

12． 已知函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．

四．解答题

13.设函数 ．
(1) 讨论 的单调性
(2) 若 有最大值 ，求 的最小值．

14.设函数 ，其中 ．求函数 的极值点；