新高考数学一轮复习考点讲义：第04章第3讲导数与函数的极值与最值（含解析）

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一 函数的极值
1．函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
2．函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
3．函数的极值与极值点
极小值点和极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
二 函数的最大(小)值
1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常/用/结/论
1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
若x0是f(x)的极值点，则必有f′(x0)＝0，反过来，若f′(x0) ＝0，但x0不一定是极值点. 通俗讲：只有y＝f′(x)穿透x轴的零点，才是f(x)的极值点．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1．判断下列结论是否正确．
(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．()
(2)函数的极小值一定是函数的最小值．()
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)
(4)三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c最多有两个极值点．(√)
2．(课本习题改编)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
A．1 B．－1
C．1，－1,0 D．0
解析：∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．故选C.
答案：C
3．(2024·甘肃兰州模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是( )
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零
解析：根据导函数图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3,1)时，f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,1)上单调递增，故C正确；易知－3是函数y＝f(x)的极小值点，故A正确；因为y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，所以－1不是函数y＝f(x)的最小值点，故B错误；因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，所以切线的斜率大于零，故D正确．故选B.
答案：B
4．若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数，又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
答案：4
题型 函数极值问题的多维研讨
维度1 根据函数图象判断极值
典例1(多选)(2024·辽宁锦州模拟)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．f(－2)＞f(－1)
判断f(x)在[－2，－1]上的单调性．
B．x＝1是f(x)的极小值点
C．函数f(x)在(－1,1)上有极大值
极值点一定是导函数y＝f′(x)穿透x轴的零点．
D．x＝－3是f(x)的极大值点
解析：由y＝f′(x)的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)单调递增；当x∈(－3，－1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)单调递减，因此有f(－2)＞f(－1)，x＝－3是f(x)的极大值点，所以A，D正确；当x∈(－1,1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)单调递增，因此函数f(x)在(－1,1)上没有极大值，且x＝1不是f(x)的极小值点，所以B，C不正确．故选AD.
由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
对点练1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
解析：由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y＞0，x－1＜0⇒f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(－3,1)时，y＜0，x－1＜0⇒f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(1,3)时，y＞0，x－1＞0⇒f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(3，＋∞)时，y＜0，x－1＞0⇒f′(x)＜0，f(x)单调递减．
所以函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)．
答案：D
维度2 求函数的极值问题
典例2设函数f(x)＝eq \f(2ax－a2＋1,x2＋1)(a＜0)，求函数f(x)的极值．
解：函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝eq \f(－2ax2＋2a2－1x＋2a,x2＋12).
令f′(x)＝eq \f(－2ax2＋2a2－1x＋2a,x2＋12)＝0，
即－2ax2＋2(a2－1)x＋2a＝0，
解得x1＝a，x2＝－eq \f(1,a).
f′(x)＝0的两个不等实根，是两个极值点，依据二次函数开口方向，与x轴相交的位置，判断出是极大值点还是极小值点．
又因为a＜0，则x1＜x2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以函数f(x)在x＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1，在x＝－eq \f(1,a)处取得极小值feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))＝－a2.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧导数值的符号．
(5)求出极值．
对点练2(2024·江西赣州五校协作体联考)已知函数f(x)＝(xex－m)x－2ex(x∈R)，若m＝0，则f(x)的极大值点为________．
解析：当m＝0时，f(x)＝(x2－2)ex，f′(x)＝(x2＋2x－2)ex，令f′(x)＝0，解得x1＝－1－eq \r(3)，x2＝－1＋eq \r(3)，所以f(x)在(－∞，－1－eq \r(3))和(－1＋eq \r(3)，＋∞)上单调递增，在(－1－eq \r(3)，－1＋eq \r(3))上单调递减，所以f(x)的极大值点为－1－eq \r(3).
答案：－1－eq \r(3)
维度3 已知极值(点)求参数
典例3(1)(2024·黑龙江大庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝( )
条件中的一句话蕴含着两个方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝0，,f1＝10.))
A．－7 B．0
C．－7或0 D．－15或6
(2)(2024·安徽芜湖模拟)函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－ax(x＞0)有极值，则实数a
有极值⇔y＝f′(x)有穿透x轴的零点，而非与x轴相切的零点．
的取值范围是________．
解析：(1)由函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2有f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
函数f(x)在x＝1处有极小值10，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝0，,f1＝10，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝3＋2a＋b＝0，,f1＝1＋a＋b＋a2＝10，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－11))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝3.))
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－11))时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(x－1)(3x＋11)，求出参数后，仍需回代检验x＝1处是不是极小值点．
令f′(x)＞0得x＞1或x＜－eq \f(11,3)，
令f′(x)＜0得－eq \f(11,3)＜x＜1，
所以函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(11,3)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,3)，1))上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
显然满足函数f(x)在x＝1处有极小值10.
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝3))时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时x＝1处显然并不是极值点．
所以函数f(x)在R上单调递增，不满足函数f(x)在x＝1处有极小值10.
所以a＋b＝4－11＝－7.故选A.
(2)∵f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－ax(x＞0)，
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋x－a.
∵函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－ax(x＞0)有极值，
∴y＝f′(x)有变号零点．理解此句话的含义．
令f′(x)＝eq \f(1,x)＋x－a＝0，得a＝eq \f(1,x)＋x.
此时要求y＝a和y＝eq \f(1,x)＋x相交，而非相切，即a≠2.
设g(x)＝eq \f(1,x)＋x，
则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝2，∴a＞2，即实数a的取值范围是(2，＋∞)．故答案为(2，＋∞)．
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
对点练3(1)(2024·云南民族大学附中模拟)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－mx2＋mx＋9在R上无极值，则实数m的取值范围为________．
(2)(2024·黑龙江牡丹江高三第一次段考)若函数y＝ax2－ln x在x＝eq \f(1,2)处取得极值，则a＝________.
解析：(1)函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－mx2＋mx＋9在R上无极值⇔f′(x)＝x2－2mx＋m在R上无变号零点⇔Δ＝4m2－4m≤0⇔0≤m≤1.
(2)∵y′＝2ax－eq \f(1,x)，∴y′x＝eq \f(1,2)＝a－2.∵函数y＝ax2－ln x在x＝eq \f(1,2)处取得极值，∴a－2＝0，故a＝2.经检验符合题意．
答案：(1)[0,1] (2)2
题型 函数最值问题的多维研讨
维度1 求函数的最值
典例4(2022·全国乙卷，文)函数f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为( )
欲解最值，先求极值点．
A．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2) B．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)
C．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)＋2 D．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)＋2
解析：因为f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1，所以f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cs x＝(x＋1)cs x，
求导后，因式分解，极值点迅速暴露，x＝eq \f(π,2)和x＝eq \f(3π,2).
因为x∈[0,2π]，所以x＋1>0.当f′(x)>0时，解得x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))；当f′(x)0，))若f(x1)＝f(x2)(x1