新高考数学一轮复习考点学案第3章§3.1导数的概念及其意义、导数的运算（含答案解析）

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课标要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 .
f '(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f '(x)＝y'＝limΔx→0f(x＋Δx)−f(x)Δx.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 .
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f '(x)，g'(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]'＝ ；
[f(x)g(x)]'＝ ；
f(x)g(x)'＝ (g(x)≠0)；
[cf(x)]'＝ .
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f '(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
(3)f '(x0)＝[f(x0)]'.( )
(4)(e－x)'＝－e－x.( )
2.若函数f(x)＝ln x－2x＋1，则f '12等于( )
A.0B.12
C.32D.52
3.(2025·开封模拟)已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A.x－y－1＝0B.x－y＋1＝0
C.x·ln 2－y－1＝0D.x·ln 2－y＋1＝0
4.设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 .
1.巧记两个常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.
(2)函数y＝f(x)的导数f '(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f '(x)|反映了变化的快慢，|f '(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.
2.明确两点不同
区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
3.谨防两个易误点
(1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误.
(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.
题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导运算正确的是( )
A.(ln 7)'＝17
B.[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cs x
C.x2ex'＝2x−x2ex
D.[ln(3x＋2)]'＝13x＋2
(2)(2024·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)＝2f '(2)x－34x2＋ln x，则f '(1)＝ .
思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
跟踪训练1 (多选)下列命题正确的有( )
A.已知函数f(x)在R上可导，若f '(1)＝2，则limΔx→0f(1＋2Δx)−f(1)Δx＝2
B.csxx'＝xsinx＋csxx2
C.已知函数f(x)＝xe－x，若f '(x0)＝0，则x0＝1
D.设函数f(x)的导函数为f '(x)，且f(x)＝x2＋3xf '(2)＋ln x，则f '(2)＝－94
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (2025·福州联考)已知函数f(x)＝csxex＋2x，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为( )
A.2x－2y＋1＝0B.x＋y－1＝0
C.x－y＋1＝0D.2x－y＋1＝0
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (2024·石家庄模拟)若曲线y＝(1－x)ex有两条过点A(a，0)的切线，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B.(－3，1)
C.(－∞，－3)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
命题点3 切线的应用
例4 (2025·广州模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝1ex上，则|PQ|的最小值为( )
A.1e2＋1B.2e2＋1
C.ee2＋1D.3e2＋1
思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
跟踪训练2 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝ .
(2)若函数f(x)＝x－1x＋aln x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是 .
题型三 两曲线的公切线
例5 直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为( )
A.12B.1
C.2D.e
思维升华 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
跟踪训练3 (2024·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为 .
答案精析
落实主干知识
1.(1)f '(x0) y'|x＝x0
limΔx→0f(x0＋Δx)−f(x0)Δx
2.斜率 y－f(x0)＝f '(x0)(x－x0)
3.0 αxα－1 cs x －sin x axln a
ex 1xlna 1x
4.f '(x)±g'(x)
f '(x)g(x)＋f(x)g'(x) f'(x)g(x)−f(x)g'(x)[g(x)]2 cf '(x)
5.y'u·u'x
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.A [f '(x)＝1x－2，
所以f '12＝2－2＝0.]
3.D [函数f(x)＝2x，求导得f '(x)＝2xln 2，则f '(0)＝ln 2，而f(0)＝1，所以所求切线方程为y－1＝ln 2·(x－0)，即x·ln 2－y＋1＝0.]
4.－14
解析 ∵y＝e2ax，
∴y'＝e2ax·(2ax)'＝2a·e2ax，
∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y'|x＝0＝2ae0＝2a，
又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，
∴2a×2＝－1，∴a＝－14.
探究核心题型
例1 (1)BC [(ln 7)'＝0，故A错误；
[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cs x，故B正确；
x2ex'＝2xex−x2exe2x＝2x−x2ex，故C正确；
[ln(3x＋2)]'＝33x＋2，故D错误.]
(2)92
解析 由函数f(x)＝
2f '(2)x－34x2＋ln x，
可得f '(x)＝2f '(2)－32x＋1x，
令x＝2，
可得f '(2)＝2f '(2)－3＋12，
解得f '(2)＝52，
所以f(x)＝5x－34x2＋ln x，
可得f '(x)＝5－32x＋1x，
所以f '(1)＝5－32＋1＝92.
跟踪训练1 CD [对于A，
limΔx→0f(1＋2Δx)−f(1)Δx
＝2limΔx→0f(1＋2Δx)−f(1)2Δx
＝2f'(1)＝4，故A错误；
对于B，csxx'
＝−xsinx−csxx2，故B错误；
对于C，f '(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，若f '(x0)＝0，则(1－x0)e−x0＝0，即x0＝1，故C正确；
对于D，f '(x)＝2x＋3f '(2)＋1x，故f '(2)＝4＋3f '(2)＋12，
故f '(2)＝－94，故D正确.]
例2 C [由题意知f '(x)＝−sinx−csxex＋2，f(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为f '(0)＝−sin0−cs0e0＋2＝1，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.]
例3 D [设切点坐标为(x0，(1－x0)ex0)，
由已知得y'＝－xex，
则切线斜率k＝－x0ex0，
切线方程为y－(1－x0)ex0
＝－x0ex0(x－x0).
∵直线过点A(a，0)，
∴－(1－x0)ex0＝－x0ex0(a－x0)，
化简得x02－(a＋1)x0＋1＝0.
∵切线有2条，
∴Δ＝(a＋1)2－4>0，
解得a1，
则a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞).]
例4 B [令y'＝ex＝1e，得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得P−1，1e，所以|PQ|的最小值即为点−1，1e到直线y＝1ex的距离d＝2e2＋1.]
跟踪训练2 (1)ln 2
解析 由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，
当x＝0时，y'＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.
由y＝ln(x＋1)＋a得y'＝1x＋1，
设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，y0)，
由两曲线有公切线得y'＝1x0＋1＝2，
解得x0＝－12，代入切线方程y＝2x＋1得y0＝2×−12＋1＝0，
则y＝ln(x0＋1)＋a＝0，
即ln−12＋1＋a＝0，
解得a＝ln 2.
(2)(－∞，－2]
解析 f '(x)＝1＋1x2＋ax(x>0)，
依题意得f '(x)＝1＋1x2＋ax＝0有解，
即－a＝x＋1x有解，
∵x>0，∴x＋1x≥2，
当且仅当x＝1时取等号，
∴－a≥2，即a≤－2.
例5 B [由y＝ex＋1，可得y'＝ex；
由y＝ex＋1，可得y'＝ex＋1，
设两个切点的坐标分别为(x1，ex1＋1)和(x2，ex2＋1)，直线l的斜率k＝ex1＝ex2＋1，
故x1＝x2＋1，即x1≠x2，
所以k＝ex2＋1−ex1−1x2−x1＝−1−1＝1，
即直线l的斜率为1.]
跟踪训练3 12e
解析 设公共点的坐标为(x0，y0)(x0>0)，
∵f '(x)＝2ax，g'(x)＝1x，
则2ax0＝1x0,y0＝ax02,y0＝ln x0,解得x0＝e12,a＝12e.
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f '(x)＝____________
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f '(x)＝____________
f(x)＝sin x
f '(x)＝____________
f(x)＝cs x
f '(x)＝____________
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f '(x)＝____________
f(x)＝ex
f '(x)＝____________
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f '(x)＝____________
f(x)＝ln x
f '(x)＝____________