新高考数学一轮复习考点学案第2章§2.11函数的零点与方程的解（含答案解析）

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1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.( )
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.( )
2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
3.函数f(x)＝ln x－1x的零点所在的大致区间是( )
A.1e，1B.(1，2)
C.(2，e)D.(2，3)
4.设f(x)＝|x2－2x|，则函数y＝f(x)－2 024的所有零点之和为 .
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)若连续函数f(x)在区间[a，b]上满足f(a)f(b)0,ex,x≤0,则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6，6]内的零点个数为( )
A.14B.13
C.12D.11
思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练2 (1)(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|lg2x|－1的零点个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
(2)函数f(x)＝36−x2·cs x的零点个数为 .
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 (2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cs x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)和y＝g(x)恰有一个交点，则a等于( )
A.－1B.12
C.1D.2
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例4 已知函数f(x)＝3x－2＋axx.若存在x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是 .
思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.
跟踪训练3 (1)(2025·深圳模拟)已知函数f(x)＝lg2(x＋3)＋4x＋a在(－1，1)内有零点，则实数a的取值范围是( )
A.(－6，3)
B.(－∞，－6)∪(3，＋∞)
C.[－6，3]
D.(－∞，－6]∪[3，＋∞)
(2)(多选)(2024·柳州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x−3,x≤0,−2＋lnx,x>0,令h(x)＝f(x)－k，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)
B.当h(x)有3个零点时，k∈(－4，－3]
C.当k＝－2时，h(x)的所有零点之和为－1
D.当k∈(－∞，－4)时，h(x)有1个零点
嵌套函数的零点
对于嵌套函数y=f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；
(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1，2，3，…，n)；
(3)确定直线u=ui(i=1，2，3，…，n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y=f(g(x))的零点个数为a1+a2+a3+…+an.
典例 (1)若函数f(x)=1+lnx，x>0，x2+4x+3，x≤0，则函数g(x)=f(f(x))的零点的个数为( )
A.4B.5C.6D.7
(2)(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)=−x2−4x−2，x≤0，|lnx|，x>0，若函数g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m有5个不同的零点，则实数m的值可能是( )
A.-5B.-6C.-7D.-8
答案精析
落实主干知识
1.(1)f(x)＝0 (2)零点 x轴
(3)f(a)f(b)