新高考数学一轮复习考点学案第2章§2.3函数的奇偶性（含答案解析）

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函数的奇偶性
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )
(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数.( )
(4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是奇函数.( )
2.下列函数中是偶函数的是( )
A.y＝2xB.y＝cs x
C.y＝ln xD.y＝sin x
3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是( )
A.f(x)＋f(－x)＝0B.f(0)＝0
C.f(x)·f(－x)≤0D.f(x)f(−x)＝－1
4.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋b，则f(－1)＝ .
1.理解函数奇偶性的常用结论
(1)①如果奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于y轴对称的区间上具有相反的单调性.
(3)若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.
2.谨防两个易误点
(1)求奇函数的解析式时，忽略x＝0会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x＝0处没有定义，要么在x＝0处的函数值为0，即f(0)＝0.
(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件.
题型一 函数奇偶性的判断
命题点1 常见函数奇偶性的判断
例1 (多选)(2025·哈尔滨模拟)下列函数中具有奇偶性的是( )
A.f(x)＝x＋sin x
B.f(x)＝(x－1)x＋1x−1
C.f(x)＝ln(x2＋1－x)
D.f(x)＝2x＋12x
命题点2 抽象函数奇偶性的判断
例2 (多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有( )
A.若恒有f(x3)＝－f(－x3)，则f(x)是奇函数
B.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，则f(x)是偶函数
C.若恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是偶函数
D.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，且f(0)≠0，则f(x)是奇函数
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
跟踪训练1 (1)(多选)下列函数是奇函数的是( )
A.f(x)＝tan xB.f(x)＝x2＋x
C.f(x)＝ex−e−x2D.f(x)＝ln|1＋x|
(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为 函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
题型二 函数的奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求解析式
例3 (2025·肇庆联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则f(x)＝ .
命题点2 利用奇偶性求值
例4 (1)(2024·黔东南模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x＋5，若f(m)＝4，则f(－m)等于( )
A.4B.6
C.－4D.－6
(2)已知函数f(x)＝(2x＋a·2－x)cs x为R上的奇函数，则实数a等于( )
A.－1B.1
C.－2D.2
命题点3 利用奇偶性解不等式
例5 (2025·深圳模拟)设奇函数f(x)满足f(1)＝0，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，且a≠1)，对应f(xy)=f(x)+f(y)或f xy=f(x)-f(y)或f(xn)=nf(x)；
⑤正弦函数f(x)=sin x，对应f(x+y)f(x-y)=f 2(x)-f 2(y)，来源于sin 2α-sin 2β=sin(α+β)sin(α-β)；
⑥余弦函数f(x)=cs x，对应f(x)+f(y)=2f x+y2f x−y2，来源于cs α+cs β=2cs α+β2·cs α−β2.
典例 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)=1，则下列说法正确的是( )
A.f(x)为奇函数
B.f(-2)=-1
C.不等式f(2x)-f(x-3)>-2的解集为(-5，+∞)
D.f(-2 025)+f(-2 024)+…+f(0)+…+f(2 024)+f(2 025)=2 024
(2)已知函数f(x)满足：①对∀m，n>0，f(m)+f(n)=f(mn)；②f12=-1.请写出一个符合上述条件的函数f(x)= .
思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
跟踪训练2 (1)(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln2x−12x＋1为偶函数，则a等于( )
A.－1B.0
C.12D.1
(2)已知函数f(x)＝x3＋2x，x∈(－2，2)，则不等式f(2x－1)＋f(x)>0的解集为 .
答案精析
落实主干知识
f(－x)＝f(x) y轴
f(－x)＝－f(x) 原点
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.B [对于A，y＝2x为定义域内的增函数，故为非奇非偶函数；
对于B，y＝cs x的定义域为全体实数，且f(－x)＝cs(－x)＝cs x＝f(x)，故为偶函数；
对于C，y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
对于D，y＝sin x的定义域为全体实数，但是f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，故为奇函数.]
3.ABC [因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，且f(0)＝0，A，B正确；
因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，当x＝0时，等号成立，C正确；
当x＝0时，f(－x)＝0，此时f(x)f(−x)无意义，D错误.]
4.－2
解析 f(x)是奇函数，则f(0)＝b＝0，即当x≥0时，f(x)＝2x，
所以f(1)＝2，
从而f(－1)＝－f(1)＝－2.
探究核心题型
例1 ACD [A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数；
B项，令x＋1x−1≥0，解得x≤－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；
C项，因为x2＋1>x2，
所以x2＋1－x>0恒成立，
即f(x)的定义域为R，
又f(－x)＋f(x)＝ln(x2＋1＋x)＋ln(x2＋1－x)＝0，故f(x)为奇函数；
D项，f(x)的定义域为R，
由f(－x)＝12x＋2x＝f(x)知，f(x)为偶函数.]
例2 AC [对于A，令t＝x3，则t∈R，因为f(x3)＝－f(－x3)，所以f(t)＝－f(－t)，即f(－t)＝－f(t)，所以f(t)是奇函数，
即f(x)是奇函数，A正确；
对于B，令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，又x∈R，所以f(x)是奇函数，B错误；
对于C，令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝0，令y＝－1，
则f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，又x∈R，所以f(x)是偶函数，C正确；
对于D，由题知f(x)的定义域为R，f(0)≠0，显然不符合奇函数定义，D错误.]
跟踪训练1 (1)AC [对于A，函数的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z，关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝e−x−ex2＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；
对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意.]
(2)奇
解析 由题意得，函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，
令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，
故f(0)＝－2.
令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，
即f(－x)＝－f(x)－4，
令g(x)＝f(x)＋2，x∈R，
所以g(－x)＝f(－x)＋2
＝－f(x)－4＋2＝－f(x)－2
＝－[f(x)＋2]＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，即f(x)＋2为奇函数.
例3 x2−x,x≥0,−x2−x,xf(x2)，
所以f(x)在R上单调递增，
因为f(－2)＝－1，
所以f(－4)＝f(－2－2)
＝2f(－2)＝－2，
由f(2x)－f(x－3)>－2，
可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，
所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，
所以2x>x－7，得到x>－7，
所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，
故C错误；
对于D，因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＋f(x)＝0，
所以f(－2 025)＋f(2 025)
＝f(－2 024)＋f(2 024)
＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，
又f(0)＝0，故f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝0，故D错误.]
(2)lg2x(答案不唯一，符合条件即可)
解析 因为对∀m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)，
所以f(x)在(0，＋∞)上可能为对数函数，
故f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)满足条件①，
又f 12＝－1，
所以f(x)＝lg2x，
故符合上述条件的函数可以为f(x)＝lg2x.
跟踪训练2 (1)B [方法一 因为f(x)为偶函数，
则 f(1)＝f(－1)，
即(1＋a)ln13＝(－1＋a)ln 3，
解得a＝0.
当a＝0时，f(x)＝xln2x−12x＋1.
由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>12或x12或x0，
可化为f(2x－1)>－f(x)＝f(－x)，
故2x−1>−x,−2