新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第2章2.4函数的对称性（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第2章2.4函数的对称性（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝lg|x|
C．y＝tan x D．y＝x3
2．(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x轴对称
3．(2023·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋eq \f(4,2x)(x∈R)，则f(x)的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于点(1,0)对称
C．关于直线x＝0对称
D．关于原点对称
4．(2023·赣州联考)已知函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，满足对任意x∈R，都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))，若f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4))) D．(－∞，2]
5．已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于( )
A．3 B.eq \f(3,2) C．－1 D．－eq \f(1,2)
6．(2023·重庆模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0 B．f(0)＝1
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0 D．f(1)＝1
二、多项选择题
7．设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是( )
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)为奇函数
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
8．(2023·恩施模拟)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是( )
A．直线x＝1是f(x)的图象的对称轴
B．周期T＝2
C．函数f(x)在[4,5]上单调递增
D．f(5)＝0
三、填空题
9．(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数，f(x)＝________.
10．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________.
11．(2024·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝lg2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为________．
12．(2023·荆州统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(－x)，设函数f(x)与函数y＝eq \f(1,x－1)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则eq \i\su(i＝1,n, )(xi＋yi)的值为________．
四、解答题
13．(2023·邢台检测)已知函数f(x)＝lg2|x－2|＋x2－4x.
(1)判断并证明函数f(x)的对称性；
(2)求f(x)的单调区间．
14．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
15．设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＝f(x＋4)
D．f(x＋6)为奇函数
16．(多选)(2024·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是( )
A．g(2)＝1
B．g(0)＝1
C．不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0)
D．g(－1)＋g(2)f(4)＝0，故选项D错误．]
9．cs πx(形如acs πx＋b或aeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(πx,2)))＋b或aeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin πx))＋b或aeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(πx,2)))＋b等)
10．2
11.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\f(5,3)))))
解析 ∵y＝f(x＋3)是偶函数，
∴f(x)的图象关于直线x＝3对称．
∵当x≥3时，f(x)＝lg2x，
∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，
∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，
即|2x－1|>|x－4|，
∴(2x－1)2>(x－4)2，
即3x2＋4x－15>0，
解得xeq \f(5,3).
12．n
解析 ∵函数f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
则f(2－x)＋f(x)＝0，
∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，
∵函数y＝eq \f(1,x－1)的图象是由函数y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度得到的，
∴函数y＝eq \f(1,x－1)的图象关于点(1,0)对称，
∴函数f(x)与函数y＝eq \f(1,x－1)的图象的交点也关于点(1,0)对称，
∴eq \i\su(i＝1,n, )(xi＋yi)＝eq \i\su(i＝1,n,x)i＋eq \i\su(i＝1,n,y)i＝2×eq \f(n,2)＋0×eq \f(n,2)＝n.
13．解 (1)f(x)的图象关于直线x＝2对称．
证明：由|x－2|>0，得x≠2，
所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
因为f(2－x)＝lg2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝lg2|x|＋x2－4，
f(2＋x)＝lg2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝lg2|x|＋x2－4，
所以f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(2)设y1＝lg2|x－2|，y2＝x2－4x，
当x>2时，y1＝lg2|x－2|＝lg2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增，
故f(x)＝lg2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增．
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．
14．解 (1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－3＝0，,a3－3a2－b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))
所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
15．D [因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数．]
16．BCD [∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，
将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，
∵g(x)＝f(x)＋1，
∴g(0)＝f(0)＋1，
∴g(0)＝1，故B选项正确；
∵y＝f(x－2)为减函数，
∴f(x)为减函数，
∴g(x)＝f(x)＋1为减函数，
又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A选项错误；
∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)为减函数，∴x＋1