新高考数学一轮复习基础版讲义第4章第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第4章第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了会推导两角差的余弦公式，辅助角公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2.辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin__αcs__α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
[常用结论与微点提醒]
1.两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan（α＋β）)＝eq \f(tan α－tan β,tan（α－β）)－1.
2.降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).
3.升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，
1－cs 2α＝2sin2α，
1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β, 1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(5)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( )
2.(必修一P223T2)已知sin(α－π)＝eq \f(3,5)，则cs 2α＝________.
3.计算：sin 108°cs 42°－cs 72°sin 42°＝______.
4.若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝______.
考点一 公式的基本应用
例1 (1)若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A.eq \f(7\r(2),10)B.－eq \f(7\r(2),10)C.－eq \f(\r(2),10)D.eq \f(\r(2),10)
(2)(2023·长沙测试)若eq \f(1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(1,2)，则cs 2α的值为( )
A.－eq \f(3,5)B.eq \f(3,5)C.－eq \f(4,5)D.eq \f(4,5)
(3)已知点P(x，2eq \r(2))是角α终边上一点，且cs α＝－eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝________.
训练1 (1)计算：eq \f(cs 55°＋sin 25°cs 60°,cs 25°)＝( )
A.－eq \f(\r(3),2)B.eq \f(\r(3),2)C.－eq \f(1,2)D.eq \f(1,2)
(2)(多选)(2024·海口模拟)已知α∈(π，2π)，sin α＝eq \f(tan α,2)＝tan eq \f(β,2)，则( )
A.tan α＝eq \r(3)B.cs α＝eq \f(1,2)
C.tan β＝4eq \r(3)D.cs β＝eq \f(1,7)
考点二 公式的逆用及变形
例2 (1)(2024·吉林五校联考)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋cs α＝eq \f(1,2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(5π,6)))＝( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(3,4)C.eq \f(1,2)D.－eq \f(3,4)
(2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(1,3)C.eq \f(1,2)D.eq \f(5,3)
(3)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),sin 80°)＝________.
训练2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A.tan(α－β)＝1B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1D.tan(α＋β)＝－1
(2)sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin2α等于( )
A.－eq \f(1,2)B.－eq \f(\r(3),2)C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
(3)计算：cs 20°cs 40°cs 80°＝________.
考点三 角的变换问题
例3 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(3),3)C.eq \f(2,3)D.eq \f(\r(2),2)
(2)已知α，β为锐角，sin α＝eq \f(3\r(10),10)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，则sin(2α＋β)的值为________.
训练3 (1)(2024·重庆质检)已知角α，β满足tan α＝eq \f(1,3)，2sin β＝sin(2α＋β)，则tan β＝( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(1,2)C.1D.2
(2)(2024·河北部分名校联考)若锐角α，β满足sin(α－β)＝eq \f(1,3)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(2,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,6)))＝________.
万能公式
(1)sin α＝eq \f(2tan \f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，(2)cs α＝eq \f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，
(3)tan α＝eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2)).
上述三个公式统称为万能公式.
例 已知α，β∈(0，π)，tan eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(5,13)，则cs β＝________.
训练 (2024·济宁质检)已知6sin2α＋sin αcs α－2cs2α＝0，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).则tan α＝________，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝________.
【A级 基础巩固】
1.(2024·惠州调研)cs 50°cs 160°－cs 40°sin 160°＝( )
A.eq \f(\r(3),2)B.eq \f(1,2)C.－eq \f(1,2)D.－eq \f(\r(3),2)
2.(2024·宜宾诊断)在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边上一点P的坐标为(－1，2)，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝( )
A.－eq \f(1,3)B.eq \f(1,3)C.－3D.3
3.eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)等于( )
A.1B.eq \f(1,4)C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
4.若α＋β＝－eq \f(3π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝( )
A.eq \f(1,2)B.1C.2D.eq \f(5,2)
5.(多选)(2023·海南调研)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs2α－cs 2α＝eq \f(1,5)，则( )
A.tan α＝－eq \f(1,2) B.sin 2α＝eq \f(4,5) C.cs 2α＝eq \f(3,5) D.tan 2α＝－eq \f(3,4)
6.(2024·南通模拟)4sin 40°－tan 40°的值为( )
A.eq \r(3)B.eq \r(2)C.eq \f(\r(2)＋\r(3),2)D.2eq \r(2)－1
7.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(9,10)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝( )
A.eq \f(3\r(3)－4,10)B.eq \f(3\r(3)＋4,10)C.eq \f(3－4\r(3),10)D.eq \f(3＋4\r(3),10)
8.cs4eq \f(π,12)－sin4eq \f(π,12)＝________.
9.(2024·郑州调研)lg2sin 15°－lgeq \s\d3(\f(1,2))cs 345°＝________.
10.(2024·秦皇岛模拟)已知α为锐角，且tan α＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(5,3)，则eq \f(sin 2α＋1,cs 2α)＝________.
11.已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).
求：(1)sin(α－β)的值；
(2)cs β的值.
12.已知函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝eq \f(6,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，求f(2α)的值.
【B级 能力提升】
13.若0