新高考数学一轮复习基础版讲义第4章第1节　任意角、弧度制和三角函数的概念（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第4章第1节　任意角、弧度制和三角函数的概念（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了了解任意角的概念和弧度制的概念，理解任意角的三角函数的定义，弧度制的定义和公式，轴线角，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【知识梳理】
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)定义
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝eq \f(y,r)；cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
[常用结论与微点提醒]
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝eq \f(nπR,180)，S＝eq \f(nπR2,360).
3.象限角
4.轴线角
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cs α>1.( )
2.(必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么eq \f(α,2)是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第一或二象限角 D.第一或三象限角
3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cs θ＝________.
4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.
考点一 象限角及终边相同的角
例1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))
D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
(2)已知角θ在第二象限，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))＝－sin eq \f(θ,2)，则角eq \f(θ,2)在( )
A.第一象限或第三象限
B.第二象限或第四象限
C.第三象限
D.第四象限
训练1 (1)集合{α|kπ＋eq \f(π,4)≤α≤kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
(2)终边在直线y＝eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.
考点二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0).
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
训练2 (1)(2024·贵港模拟)图①是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，图②是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2.若eq \f(l1,l2)＝3，则eq \f(S1,S2)＝( )
A.3B.4C.6D.8
(2)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________.
考点三 三角函数的定义及应用
角度1 三角函数的定义
例3 (1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合.若Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)，1))是角α终边上一点，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(5),5)B.eq \f(\r(3),2)C.eq \f(1,2)D.eq \f(2\r(5),5)
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cs α的值为________.
角度2 三角函数值符号的判定
例4 (1)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是( )
A.tan α－sin α>0B.sin α＋cs α>0
C.cs α－tan α>0D.tan αsin α>0
(2)(多选)(2024·衢州质检)若sin xcs x>0，sin x＋cs x>0，则eq \f(x,2)可以是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
训练3 (1)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，
tan α)在第四象限，则角α的终边在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
(2)(多选)(2024·青岛调研)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y＝4x上，则eq \f(sin α－2cs α,tan α)的值可能是( )
A.eq \f(7\r(17),68)B.eq \f(\r(17),34)
C.－eq \f(7\r(17),68)D.－eq \f(\r(17),34)
【A级 基础巩固】
1.下列与角eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
2.若sin θ·cs θ0，则角θ是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
3.(2024·南通质检)已知点P(1，t)在角θ的终边上，且sin θ＝－eq \f(\r(6),3)，则cs θ的值为( )
A.eq \f(\r(3),3)B.±eq \f(\r(3),3)C.±eq \f(1,3)D.eq \f(1,3)
4.在平面直角坐标系中，角α的终边过点(－1，0)，将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cs β＝( )
A.eq \f(1,2)B.－eq \f(1,2)C.eq \f(\r(3),2)D.－eq \f(\r(3),2)
5.(2024·广州调研)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cs α＝( )
A.±eq \f(\r(5),5)B.eq \f(\r(5),5)C.±eq \f(2\r(5),5)D.eq \f(2\r(5),5)
6.(多选)下列说法正确的有( )
A.角eq \f(π,3)与角－eq \f(5,3)π终边相同
B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cs α的取值为eq \f(\r(10),10)
D.67°30′化成弧度是eq \f(3π,8)
7.(2023·西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2为其结构简化图.设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为( )
A.eq \f(2sin \f(θ,2),θ)＝eq \f(d,l)B.eq \f(sin \f(θ,2),θ)＝eq \f(d,l)
C.eq \f(2cs \f(θ,2),θ)＝eq \f(d,l)D.eq \f(cs \f(θ,2),θ)＝eq \f(d,l)
8.(多选)已知点P(sin x－cs x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(9π,4)))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))
9.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________.
11.(2021·北京卷)若P(cs θ，sin θ)与Qeq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))，eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值为________.
12.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则eq \f(α,tan α)＝______.
【B级 能力提升】
13.(多选)(2024·南开中学质检)已知角α是第二象限角，则下列不等式一定成立的是( )
A.sin eq \f(α,2)0
C.sin eq \f(α,2)>cs eq \f(α,2)D.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))>eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))
14.(2024·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分.若∠ACB＝eq \f(5π,6)，AB的长约为20eq \r(3)，则该月牙泉模型的面积约为( )
A.300eq \r(3)－50πB.120π＋150eq \r(3)
C.100π＋180eq \r(3)D.120π＋180eq \r(3)
15.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝________弧度时，这个扇形的面积最大.
16.若角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，且
sin αcs β