新高考数学一轮复习基础版讲义第4章第2节　同角三角函数的基本关系及诱导公式（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第4章第2节　同角三角函数的基本关系及诱导公式（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了理解同角三角函数的基本关系式等内容，欢迎下载使用。
2.能利用单位圆中的对称性推导出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函数的诱导公式
[常用结论与微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；
sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( )
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )
(3)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立.( )
(4)若sin(kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)对任意的角α，sin2α＋cs2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝eq \f(1,3)，
当k为偶数时，sin α＝－eq \f(1,3).
2.(必修一P194T5改编)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))＝eq \f(3,5)，那么cs α＝( )
A.－eq \f(4,5)B.－eq \f(3,5)C.eq \f(3,5)D.eq \f(4,5)
答案 B
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))＝－cs α＝eq \f(3,5)，
所以cs α＝－eq \f(3,5).
3.(必修一P185T6改编)已知α是第三象限角，sin α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝( )
A.－eq \f(3,4)B.eq \f(3,4)C.－eq \f(4,3)D.eq \f(4,3)
答案 B
解析 由题意得cs α＝－eq \f(4,5)，
故tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4).
4.化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cs(2π－α)的结果为________.
答案 －sin2α
解析 原式＝eq \f(sin α,cs α)·(－sin α)·cs α＝－sin2α.
考点一 同角三角函数基本关系式
角度1 切弦互化
例1 (1)(2024·邵阳段考)已知角α的终边在直线3x－4y＝0上，则cs2α＋2sin 2α＝( )
A.eq \f(64,25)B.eq \f(48,25)C.1D.eq \f(16,25)
答案 A
解析 因为角α的终边在直线3x－4y＝0上，
所以tan α＝eq \f(3,4)，
则cs2α＋2sin 2α＝eq \f(cs2α＋4sin αcs α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(1＋4tan α,tan2α＋1)＝eq \f(1＋4×\f(3,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))\s\up12(2)＋1)＝eq \f(64,25).
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0，eq \f(π,2))，tan θ＝eq \f(1,2)，则sin θ－cs θ＝________.
答案 －eq \f(\r(5),5)
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan θ＝\f(sin θ,cs θ)＝\f(1,2)，,sin2θ＋cs2θ＝1，))且θ∈(0，eq \f(π,2))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(5),5)，,cs θ＝\f(2\r(5),5)，)) 故sin θ－cs θ＝－eq \f(\r(5),5).
感悟提升 同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可实现角α的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sin α，cs α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解.
角度2 “和”“积”转换
例2 (多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A.sin θ＝eq \f(4,5)B.cs θ＝－eq \f(3,5)
C.tan θ＝－eq \f(3,4)D.sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)
答案 ABD
解析 由题意知sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，
∴(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(1,25)，
∴2sin θcs θ＝－eq \f(24,25)＜0，
又∵θ∈(0，π)，∴eq \f(π,2)＜θ＜π，
∴sin θ－cs θ＞0，
∴sin θ－cs θ＝eq \r(1－2sin θcs θ)
＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25))))＝eq \r(\f(49,25))＝eq \f(7,5)，
∴sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝－eq \f(3,5).
∴tan θ＝－eq \f(4,3)，∴A，B，D正确.
感悟提升 正弦、余弦“sin α±cs α，sin αcs α”的应用
sin α±cs α与sin αcs α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，sin αcs α＝eq \f(（sin α＋cs α）2－1,2)，sin αcs α＝eq \f(1－（sin α－cs α）2,2).
训练1 (1)(2024·赣州质检)若α为锐角，tan α＝eq \f(1,cs 2α＋1)，则tan α＝( )
A.eq \f(1,2)B.1C.2－eq \r(3)D.eq \r(3)
答案 B
解析 法一 ∵α为锐角，∴cs α≠0，
∴tan α＝eq \f(1,cs 2α＋1)＝eq \f(1,2cs2α－1＋1)
＝eq \f(1,2cs2α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,2cs2α)＝eq \f(1,2)tan2α＋eq \f(1,2)，
即tan2α－2tan α＋1＝0，解得tan α＝1.
法二 ∵tan α＝eq \f(sin α,cs α)，cs 2α＋1＝2cs2α，
∴由tan α＝eq \f(1,cs 2α＋1)得eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2cs2α)，
即2sin αcs α＝1，即sin 2α＝1，
∵α为锐角，∴2α∈(0，π)，
∴2α＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,4)，∴tan α＝1.
(2)(2024·石家庄调研)若sin θ＋cs θ＝eq \f(2\r(3),3)，则sin4θ＋cs4θ＝________.
答案 eq \f(17,18)
解析 由sin θ＋cs θ＝eq \f(2\r(3),3)，
平方得1＋2sin θcs θ＝eq \f(4,3)，
∴sin θcs θ＝eq \f(1,6)，
∴sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ
＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))eq \s\up12(2)＝eq \f(17,18).
考点二 诱导公式
例3 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 025π,2)＋α))＝eq \f(1,3)，则cs(π－α)的值为( )
A.eq \f(7,9)B.eq \f(1,3)C.－eq \f(1,3)D.－eq \f(7,9)
答案 C
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 025π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 012π＋\f(π,2)＋α))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(1,3)，
∴cs(π－α)＝－cs α＝－eq \f(1,3).
(2)eq \f(tan（π－α）cs（2π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs（－α－π）sin（－π－α）)＝_________________.
答案 －1
解析 原式＝eq \f(－tan α·cs α·（－cs α）,cs（π＋α）·[－sin（π＋α）])
＝eq \f(tan α·cs2α,－cs α·sin α)＝－eq \f(sin α,cs α)·eq \f(cs α,sin α)＝－1.
感悟提升 1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数eq \(―——————―→,\s\up7(利用诱导公式),\s\d5(三或一))任意正角的三角函数eq \(―——————―→,\s\up7(利用诱导公式一))0～2π内的角的三角函数eq \(―————————―→,\s\up7(利用诱导公式二),\s\d5(或四或五或六))锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
训练2 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A.sin(3π－x)＝－sin x
B.sin eq \f(π－x,2)＝－cs eq \f(x,2)
C.cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋3x))＝sin 3x
D.cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x
答案 D
解析 sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin x，
sin eq \f(π－x,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(x,2)))＝cs eq \f(x,2)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋3x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋3x))＝－sin 3x，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x.
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为________.
答案 eq \f(4,5)
解析 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(4,5)，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(4,5).
考点三 基本关系式和诱导公式的综合应用
例4 (1)(2024·衡水模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋cs(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcs α＝( )
A.eq \f(21,10)B.eq \f(3,2)C.eq \f(\r(3),2)D.2
答案 D
解析 由诱导公式可得sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋cs(π－α)＝－2cs α，
所以tan α＝－2.
因此，2sin2α－sin αcs α＝eq \f(2sin2α－sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan2α－tan α,tan2α＋1)＝eq \f(10,5)＝2.
(2)已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cs x＝－eq \f(1,5)，则eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝________.
答案 －eq \f(24,175)
解析 由已知，得sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
两边平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，
整理得2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25)，
由－π＜x＜0知，sin x＜0，
又sin xcs x＝－eq \f(12,25)＜0，
∴cs x＞0，∴sin x－cs x＜0，
故sin x－cs x＝－eq \f(7,5).
∴eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin x（cs x＋sin x）,1－\f(sin x,cs x))
＝eq \f(2sin xcs x（cs x＋sin x）,cs x－sin x)＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))
＝－eq \f(24,175).
感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.
训练3 (1)(2024·河南名校联考)若tan(π－x)＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝( )
A.±eq \f(\r(5),5)B.±eq \f(2\r(5),5)
C.－eq \f(\r(5),5)D.eq \f(2\r(5),5)
答案 A
解析 因为tan(π－x)＝eq \f(1,2)，
所以tan x＝－eq \f(1,2)，即cs x＝－2sin x.
又sin2x＋cs2x＝1，解得sin2x＝eq \f(1,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝－sin x＝±eq \f(\r(5),5).
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝eq \f(1,3)，且0