新高考数学一轮复习基础版讲义第2章第4节 函数的奇偶性、周期性（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第2章第4节 函数的奇偶性、周期性（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了周期性，下列对函数的奇偶性判断正确的是等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[常用结论与微点提醒]
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.( )
(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( )
2.(多选)(必修一P84例6改编)给出下列函数，其中是奇函数的有( )
A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5
C.f(x)＝x＋eq \f(1,x) D.f(x)＝eq \f(1,x2)
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________.
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2 025)＝______.
考点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)； (2)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x，x＜0，,－x2＋x，x＞0；)) (3)f(x)＝lg2(x＋eq \r(x2＋1)).
训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( )
A.奇函数的图象一定过坐标原点B.函数y＝xsin x是偶函数
C.函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D.函数y＝eq \f(x2－x,x－1)是奇函数
(2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是( )
A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数B.f(x)－g(x)为R上的偶函数
C.eq \f(f（x）,g（x）)为R上的偶函数D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数
考点二 函数奇偶性的应用
角度1 求解析式(参数或值)
例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)lneq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝( )
A.－1 B.0
C.eq \f(1,2) D.1
(2)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
角度2 奇偶性与单调性
例3 (1)(多选)(2024·合肥调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则( )
A.f(f(1))