新高考数学二轮复习专题巩固练习专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析（练习）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2024·湖南长沙·模拟预测）设a=0.30.4,b=0.40.3,c=lg0.40.3，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．ab>c，
故选：D.
3．已知Ax1,y1,Bx2,y2是函数y=lnx的图象上两个不同的点，则（ ）
A．ey1+y22>x1x2B．ey1+y22>x1+x22C．ey1+y22bC．b>c>aD．b>a>c
【答案】C
【解析】因为函数y=lg5x在0,+∞上单调递增，所以a=lg52c.
综上，b>c>a.
故选：C
5．已知a=lg48，b=lg0.60.4，c=lg23，则（ ）
A．b>a>cB．b>c>aC．c>a>bD．c>b>a
【答案】B
【解析】a=lg48=lg2223=32，c=lg23>lg222=32=a，
b−c=lg3525−lg23=lg5352−lg23=lg52lg53−lg3lg2
=lg2(lg5−lg2)−lg3(lg5−lg3)lg53lg2
=(lg2−lg3)lg5−(lg2−lg3)(lg2+lg3)lg53lg2
=(lg2−lg3)lg5−lg6lg53lg2
因为y=lgx在0,+∞上单调递增，则lg2c，结合c>a知b>c>a.
故选：B.
6．已知2020a=2021，2021b=2020，c=ln2则（ ）
A．lgac>lgbcB．lgca>lgcb
C．acb=lg20212020>0，
而0a=c
【答案】D
【解析】由题得a=20.4=2410，b=30.3=3310，c=40.2=4210，
又241010=244z2B．1x+1y4zD．x+y1，则x=lg2k，y=lg3k，z=lg6k，
所以1x+1y=lgk2+lgk3=lgk6=1z，B错误；
z=xyx+y0等号不成立），故4z22sin12D．sin12sin12>23
【答案】ABD
【解析】对于A选项，令fx=tanx−x，其中00可得x>1e，
所以，函数ℎx的减区间为0,1e，增区间为1e,+∞，
所以，ℎx≥ℎ1e=−1e>−25，
令qx=lnx−2x−1x+1，其中x>0，
则q'x=1x−4x+12=x−12xx+12≥0，当且仅当x=1时，等号成立，
所以，函数qx在0,+∞上单调递增，
又因为q1=0，所以，q2323，故sin12sin12>23，D对.
故选：ABD.
17．若都不为零的实数a,b满足a>b，则（ ）
A．1a2C．ea−b>1D．lna>lnb
【答案】C
【解析】取a=1,b=−1，满足a>b，但1a>1b，A错误；
当a=1,b=−1，满足a>b，但ba+ab=−2b，所以a−b>0，所以ea−b>1，C正确；
当ac
C．b>c>aD．b>a>c
【答案】D
【解析】因为e2a−2ea+b+eb+c=0，a、b、c是正实数，
所以e2a−ea+b+eb+c−ea+b=eaea−eb+ebec−ea=0，
因为a,b,c>0，所以ea>1,eb>1,ec>1，
对于A，若a=b=c，则ea−eb=ec−ea=0，满足题意；
对于B，若a>b>c，则ea−eb>0,ec−eac>a，则ea−eb0，满足题意；
对于D，若b>a>c，则ea−eb1x+1，所以ln3534>135>0.02，
所以3534>e0.02，
因为，所以>e0.02，
所以2.8>2.72×e0.02>e1.02，所以b>c，
所以a>b>c，
故选：C
23．下列不等式中正确的是（ ）
A．2πsin33
【答案】D
【解析】对于选项A：因为y=2x在R上单调递增，
且π>3，可得2π>23，故A错误；
对于选项BC：令fx=ex−x−1,x>0，则f'x=ex−1>0对任意x>0恒成立，
可知fx在0,+∞内单调递增，则fx>f0=0，
即ex>x+1,x>0，且π>0，可得eπ>π+1，故B错误；
因为ex>x+1,x>0，则x>lnx+1,x>1，即lnx1，
且π>1，可得lnπsin33，故D正确；
故选：D.
24．已知a=0.02，b=e−0.96，c=ln1.03，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>a>cB．b>c>a
C．c>a>bD．a>b>c
【答案】B
【解析】令f(x)=ln(1+x)−x,00，
函数g(x)在(0,16)上单调递增，则g(0.01)>g(0)=0，即ln1.03−0.02>0，因此ln1.03>0.02，
所以b=e−0.96>e−1=1e>13>c>a.
故选：B
题型八：同构法
25．（2024·高三·浙江·开学考试）已知a>1,b>0，若a+lg2a=b+lg2b，则（ ）
A．a>2bB．ab2D．aa+lg2a⇒b+lg2b>a+lg2a，
构造函数fx=x+lg2xx>0，显然该函数单调递增，
由b+lg2b>a+lg2a⇒fb>fa⇒b>a⇒b2>a，因此选项C不正确，选项D正确，
故选：D
26．（2024·重庆·模拟预测）已知正实数a, b 满足 2a=8b+lg2ba,则（ ）
A．a=bB．a3b
【答案】B
【解析】由2a=8b+lg2ba可得2a−23b=lg2b−lg2a=lg2(3b)−lg2a−lg23,
因lg23>1，则有2a−23bcC．c>a>bD．b>c>a
【答案】C
【解析】由已知，a=0.99=1−11010−1，b=0.9999=1−1100100−1，
设fx=1−x1x−1=eln1−x1x−1=e1x−1ln1−x，x∈0,1，
则f'x=e1x−1ln1−x⋅1x−1ln1−x'，
其中1x−1ln1−x'=−1x2ln1−x+1x−1⋅−11−x=−ln1−x+xx2，
令gx=ln1−x+x，则g'x=−11−x+1=xx−1，
当x∈0,1时，g'x0， fx在0,1上单调递增，
∴f110>f1100，即1−11010−1>1−1100100−1，∴有a>b.
对于c与a，c=sin9=sin3π−9>sin9.42−9>sin0.4，
将sin0.4泰勒展开，得sin0.4>0.4−0.433!>0.3893，
a=1−0.191e，
故b