新高考数学二轮复习专题巩固练习专题04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性（练习）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题巩固练习专题04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性（练习）（2份，原卷版+解析版），共11页。
题型一：函数单调性的合应用
1．（2024·陕西宝鸡·二模）“求方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是（ ）
A．B．1,+∞C．D．
【答案】D
【解析】原式化简为：，即
令，则，则y=gx在上单调递增，
则不等式转化为，所以方程解集为.
故选：D．
2．已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，①
，②
①②得：，
，
又对于任意，都有，即对于任意，，
令，则在上单调递增，
当时，在上单调递增，满足题意；
当时，是二次函数，其对称轴方程为，
在上单调递增，所以或，
解得或，
综上，，
即的取值范围为,．
故选：B
3．（2024·四川德阳·一模）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对任意，都有，
令，则Fx在R上单调递增，
其中，
当时，，解得，
且，解得或，
故，
当时，，
因为，所以，
故Fx在1,+∞上单调递增，满足要求，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
题型二：函数的奇偶性的综合应用
4．（2024·江西南昌·模拟预测）函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数的图象经过点，得，则，
函数在上单调递减，在上单调递减，则在R上单调递减，
又，即函数是奇函数，
不等式，则，
即，解得，所以原不等式的解集为.
故选：B
5．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，在上单调递增，且，
由，得，或，
时，，或，
又，即，或，
故，解得，
时，，或，
又，即，
故，解得，或，
则不等式的解集为：，
故选：D.
6．（2024·江西新余·模拟预测）函数为偶函数，则的值为：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
由函数为偶函数，则 ，
即，解得：.
故选：D.
题型三：已知f(x)=奇函数+M
7．设函数，且，则 ．
【答案】
【解析】由于，
于是函数是一个单调递增的奇函数，
而．
故答案为：
8．已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 .
【答案】15
【解析】
令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即
故答案为：
9．已知函数，，则 .
【答案】9
【解析】令，定义域为，
且，
所以为奇函数，
所以，即，
故.
故答案为：9.
题型四：利用轴对称解决函数问题
10．已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以函数的图象关于直线对称，
设五个零点分别为，且，
则，
所以,所以，
则，由，可得，则.
故选：C.
11．（2024·河南·模拟预测）已知f(x)是定义在R上的函数，，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．c>b>a
【答案】C
【解析】由，判断的图象关于直线对称，把a、b、c转化为在 x > 1的函数值利用单调性比较大小.因为，所以函数的图象关于直线对称，又，，，所以，，.因为，，所以，又当时，为减函数，所以，即.
故选：C.
12．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先设函数判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数的对称性和单调性，再将，，以及转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，
所以关于直线对称，且在单调递增.
∵，，，
∴，
∴，
又∵关于直线对称，∴，
∴.
故选：A
题型五：利用中心对称解决函数问题
13．已知函数的对称中心为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
其对称中心为
，，
，
，
故选：C
14．已知函数，则
（ ）
A．2019B．2020C．4038D．4040
【答案】C
【解析】先判断出关于成中心对称，由此求得所求表达式的值.，
令，，
则为奇函数，所以关于坐标原点对称，则关于成中心对称，则有，
所以
.
故选：C
15．已知定义在上的函数满足 ，若函数与函数的图象的交点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性求和.，关于点对称，
，可知函数关于点对称，
与的交点也关于点对称，

.
故选：C
16．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，又，
所以①，而②，
联立①②，解得：，，则．
故选：C
题型六：奇偶性对称偏移
17．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由为奇函数，得，
故①，函数的图象关于点对称；
由为偶函数，得②，
则函数的图象关于直线对称；
由①②得，
则，
故的周期为，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函数的图象关于直线对称，得，
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，
所以④，联立③④解得
故时，，
由关于对称，可得.
故选：A.
18．若定义在上的函数满足为偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为为偶函数,所以,
又因为,所以,
即,即得,,
故,所以的周期为.
的图像关于对称,且的图像关于对称;
函数值不可知,故选项错误
因为,令得,因为的周期为.
所以,即,故选项错误; 故选项正确;
故选: .
19．（2024·高三·四川成都·开学考试）设函数f(x)定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．f(x)在上为减函数D．f(x)的一个周期为8
【答案】C
【解析】由题设，，则f(x)关于对称，
所以，即，
则，即，
由，则f(x)关于对称，
所以，即，
综上，，则，
故，即易知f(x)的周期为8，D正确；
，A正确；
由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；
由时递增，则时f(x)递增，显然C错误.
故选：C
20．（多选题）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上单调递减
【答案】BCD
【解析】若是奇函数，即它的图象关于原点对称，
把的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得的图象，
因此的图象关于点对称，所以，，
是偶函数，即它的图象关于轴对称，的图象向右平移一个单位得的图象，
因此的图象关于直线对称，从而，，B正确；
所以，即，
，所以，A错；
，C正确；
在上递减，它关于直线对称，则在上递增，
又它的图象关于点对称，则在上递增，
再由它关于直线对称得它在上递减，D正确，
故选：BCD．
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
21．（多选题）（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（ ）
A．B．为奇函数
C．6是的一个周期D．
【答案】ACD
【解析】该函数满足且，
对于A，令，可得，解得，故A正确；
对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误；
对于C，令，，
可得，令，可得，
将两式相加得：，所以，
所以，所以，
因此，6是的一个周期，故C正确；
对于D，令，，，所以，
所以，
因为，，
因为，令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
由于6是的一个周期，
所以，
所以，故D正确；
故选：ACD
22．（多选题）（2024·高三·安徽·期中）已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．
【答案】ABD
【解析】定义在上的函数满足：对，，
对于A，令，则，，A正确；
对于C，令，则，
于是，
则，因此不是偶函数，C错误；
对于B，由函数为偶函数，得，即，
于是，即，，
因此函数的周期为，，B正确；
对于D，由，得，
因此，D正确.
故选：ABD
23．（多选题）（2024·高三·山西太原·期中）已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的图象关于点1,0对称
C．的图象关于直线对称D．
【答案】AC
【解析】对于A，令，可得，
由，则，解得，
令，可得，故A正确；
对于B，由题意可知在函数的图象上，而点关于的对称点为，
易知不在函数的图象上，故B错误；
对于C，设点在函数的图象上，点关于直线x=1的对称点为，
当点在函数的图象上时，函数的图象一定关于直线x=1对称，
此时由，可得，
令，可得，则，故C正确；
对于D，令，可得，则，
当时，令，可得，
则，所以；
当时，令，可得，
则，，
所以，
综上所述，，故D错误.
故选：AC.
24．（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
【答案】ABC
【解析】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确；
对于B,令可得，所以，
即可得对任意的x∈R满足，即是偶函数，所以B正确；
对于C,令，则由可得，
即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确；
对于D,由于是偶函数，所以满足，即，
可得，也即，所以是的一个周期，即D错误.
故选：ABC
题型八：双对称与周期性
25．已知函数满足，，且，则的值为（ ）
A．96B．C．102D．
【答案】C
【解析】根据题意，函数满足，可得函数关于点成中心对称，
又由函数满足，即
所以函数关于对称，
所以函数既关于成轴对称，又关于点成中心对称，
所以，且函数的周期，
又因为，所以，
可得，
所以
.
故答案为：.
26．（2024·陕西安康·模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以关于点对称，所以；
又，所以，所以有，故关于直线对称，所以.
所以，，所以有，所以，
所以的周期为4.
当时，，所以，
所以时，.
当时，，所以.
作出函数在上的图象如下图
当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以.
根据图象可得时，的解集为.
又因为的周期为4，
所以在实数集上的解集为.
令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误；
令，可得区间为，故B项错误；
令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误；
令，可得区间为，故D项正确.
故选：D.
27．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．为奇函数
C．
D．
【答案】D
【解析】由是奇函数，知的图象关于点1,0对称，
所以f1=0，，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
则，所以，所以为偶函数，则也为偶函数，故，项错误.
由，得，所以，故项错误.
因为，所以fx+4=−fx+2=fx，所以函数的周期为.
由，得fx+2+fx=0，所以f1+f2+f3+f4=0.
因为，所以，
所以，
因为，所以，故正确.
故选：.
28．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【解析】由为奇函数，知的图象关于点对称，则，
由，得．
由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，
所以，，
综上，，
由上，，得，
所以，则4为的一个周期，
所以.
故选：C
题型九：双函数与对称性
29．若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（ ）
A．x＝0对称B．y＝0对称C．x＝1对称D．y＝1对称
【答案】C
【解析】因为函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位长度得到；因为f(x)与f(－x)的图象是关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C.
30．与曲线关于原点对称的曲线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，
则点关于原点的对称点在曲线上，所以，，
化简得，
因此，与曲线关于原点对称的曲线为.
故选：A.
31．（2024·广东梅州·一模）已知函数（为常数，，）在处取得最小值，则函数（ ）
A．是偶函数且它的图象关于点对称B．是奇函数且它的图象关于点对称
C．是偶函数且它的图象关于点对称D．是奇函数且它的图象关于点对称
【答案】C
【解析】由题，
因为在处取得最小值，
即
所以
即=
分析答案，为偶函数且图像关于点对称
故选C
题型十：类周期与倍增函数
32．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因，又当时，，
当，，时，，
则，
，
当，，时，，
则，
，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，
设的最大值为，
则，且
所以，解得
所以m的最大值为.
故选：A.
33．设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（ ）
（1）当时，
（2）
（3）若，则实数的最小值为
（4）若有三个零点，则实数
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】因为 是奇函数，是偶函数，
所以 ，解得，
由
当时，，则，所以，
同理：当时，，
以此类推，我们可以得到如下的图象：
对于（1）∶根据上述规律，当时，，故（1）错误；
对于（2）：根据图象， 刚好是相邻两个自然数中间的数，
则 刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得 ，故（2）正确；
对于（3）∶根据图象，当时， 由图像可得（3）正确；
对于（4）∶有三个零点，
等价于函数与函数有三个不同的交点，设， 则函数的图象为恒过点A的直线，如图所示.
当函数与，相切的时候，有三个交点，
相切时斜率k小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为
故有三个零点， ，故（4）错误．
说法正确的个数为2.
故选：B．
34．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）
A．－32B．32C．16D．8
【答案】D
【解析】函数是定义在R上的奇函数,
.
又函数,
函数是偶函数,
函数的零点都是以相反数的形式成对出现的.
函数在上所有的零点的和为,
函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和.
即方程在上的所有实数解之和.
由时,,故有
函数在上的值域为,当且仅当时,.
又当时,,如图：
函数在上的值域为；
函数在上的值域为；
函数在上的值域为,当且仅当时,,
即方程在上的又一个实数解.即有一个零点；
函数在上的值域为,当且仅当时,,
故在上恒成立,在上无零点,
同理在上无零点,
依此类推,函数在无零点.
综上函数在上的所有零点之和为8,
故选：D.
重难点突破：函数性质与导数
35．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对A：令，则；令，则.所以，故A正确；
对B：因为，
两边求导，得即；
因数为偶函数，所以，
所以，故成立，故B正确；
对C：因为，
所以，未必为0，故C错误；
对D：因为，令，则，故D正确.
故选：ABD
36．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】是偶函数，，即f1+x=f1−x，
函数关于直线对称，
，的值无法确定，故A错误，C正确；
对f1+x=f1−x两边同时求导得，
即，所以，
关于点1,0对称，且，
是偶函数，①，
关于直线对称，，
，②，
由①②得，，
，
，4是函数的一个周期，，故B正确；
，故D正确.
故选：BCD.
37．（多选题）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．4是的一个周期
C．D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】因为为偶函数，所以，即，
而，故，故，
又为偶函数，所以，即，
所以，故即，
，所以4是的周期，故B正确.
对A，由两边求导得，
令得，解得，A正确：
对C，由上知，所以，
所以C错误；
对D，因为，
故，故的图象关于对称，因为4是的周期，故的图象关于点对称
故选：ABD
1．（2024·高三·天津·开学考试）设是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为当时，，所以在上为增函数，
又是定义在上的奇函数，所以在上为增函数，
因为，所以，，
所以，即，
所以不等式可化为，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：C.
2．（2024·高三·上海·期中）设奇函数的定义域为R，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，因为是定义域为R的奇函数，
所以的定义域为，且是偶函数，
且，
因为对任意，都有，
即对任意，都有，
所以时，，
所以在上单调递减，所以在上上单调递增，
因为，所以，所以，
当时，不等式等价于，即，
所以，解得，
当时，不等式等价于，即，
所以，解得，
综上，原不等式的解集为．
故选：D．
3．（2024·高三·安徽·期中）若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，已知是奇函数，
当时，一定不是奇函数，故，
则有，且，变形可得，所以的根为，解可得，故，
又因为为奇函数，则有，即，即，所以，即，故.所以.
故选：C.
4．（2024·高三·福建泉州·期中）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
则，所以为奇函数，
又由复合函数的单调性可得在上为增函数，
因为，
所以原不等式可转化为，即，
由单调性可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
5．（2024·高三·宁夏·期中）奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据奇函数的性质，奇函数在上单调递减，则在上仍然递减.
当时，，在上单调递减，故，则；
当时，注意到，于是，在单调递减，故，则.
综上，.
故选：D
6．（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．2025B．0C．-4D．4
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，
即，所以
所以关于对称，同时，
又为奇函数，则，所以关于对称，
即，所以常数，
令可得：，
所以，
则关于对称，结合，所以，
所以，又，
所以，
所以 ，也即，
所以
所以是周期为4的函数，
，， ，，，，
故选：C.
7．（2024·高三·广东中山·期中）已知定义域为的偶函数满足，当时，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】是偶函数，，
，，
故的周期，故，
，令，则，
又当时，，
，即，即，
故选：C.
8．（2024·高三·辽宁大连·期中）已知函数（不是常函数）及其导函数的定义域均为，记，若和均为偶函数，则下列说法中可能错误的是（ ）
A．存在实数，使B．
C．D．
【答案】D
【解析】法一、由题意可知，即，
所以关于轴对称，则，故B正确；
且，
所以关于中心对称，
又，所以关于轴对称，
则，
即的一个周期为8，所以，
而不能确定其函数值，
故C正确，D错误；
设，
则，
即（c为常数），即，
故A正确；
法二、令，则，
显然是偶函数，
且也是偶函数，
即所构造的函数符合条件，
对于A，，
即实数，符合题意，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：D
9．（多选题）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】①，
②，
由②可得：③，
①③联立可得：④，
所以的图象关于点对称，A错；
由④，又为偶函数，所以，
所以，两式相减可得：，
又，，结合
所以，B对，
，由，可知：，
所以，所以，C错；
由，可得，结合，
得：，
所以，
又，所以
即，，，
所以，
所以，D正确.
故选：BD
10．（多选题）（2024·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为所以所以，
取，由可知，，故A错误；
取，由知，，
所以，故B正确；
令，由知，，即，
又因为，所以，故C错误；
由得，，
所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，故D正确.
故选：BD
11．（多选题）（2024·高三·安徽马鞍山·期中）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．点是函数的一个对称中心
C．D．函数恰有3个零点
【答案】ACD
【解析】对A：因为f2−x=−fx，令，得f1=0，
所以，解得，故A正确；
对B：因为为偶函数，又f2−x=−fx，所以关于1,0对称，
所以，
所以是周期为4的周期函数，则，
故点不是函数的一个对称中心，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：作函数和y=fx的图象如图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确．
故选：ACD．
12．（2024·高三·四川眉山·期中）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则 ．
【答案】4
【解析】因为为奇函数，所以的图像关于点对称，
所以，
又因为图象关于直线对称，
所以
用替换解得：
用替换解得：
故有
所以8是的周期，
所以
故答案为：4.
13．（2024·高三·上海·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，若，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】因为函数满足，则，
所以函数的周期为6，
又因为，
所以，
因为当时，，
则有，，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：
14．（2024·高三·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则 .
【答案】3
【解析】因为，则，
可得，可知4为函数的周期，
且，
又因为当时，，则，
所以.
故答案为：3.
15．（2024·高三·重庆·期中）已知函数 的定义域为 ，，，则 ．
【答案】或
【解析】令，所以或，
令，
所以当时，，
当时，，
令，
所以，
相减得，
所以，所以函数的一个周期为，
所以
所以当时，，
当时，.
故答案为：或
16．（2024·高三·河南·开学考试）设函数是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的x，都有，则＝ ．
【答案】
【解析】令
,
令得
,
令,得,
即,
可得,
所以,
所以,
所以函数周期,
为奇数时,,
因为为奇数时,也为奇数,此时
为偶数时,为4的整数倍,此时，
，
因为,
由,则为偶数,
记，
则，
，
，
所以，
所以.
故答案为:.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc185603610" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc185603610 \h 2
\l "_Tc185603611" 题型一：函数单调性的合应用 PAGEREF _Tc185603611 \h 2
\l "_Tc185603612" 题型二：函数的奇偶性的综合应用 PAGEREF _Tc185603612 \h 4
\l "_Tc185603613" 题型三：已知f(x)=奇函数+M PAGEREF _Tc185603613 \h 5
\l "_Tc185603614" 题型四：利用轴对称解决函数问题 PAGEREF _Tc185603614 \h 7
\l "_Tc185603615" 题型五：利用中心对称解决函数问题 PAGEREF _Tc185603615 \h 9
\l "_Tc185603616" 题型六：奇偶性对称偏移 PAGEREF _Tc185603616 \h 11
\l "_Tc185603617" 题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 PAGEREF _Tc185603617 \h 14
\l "_Tc185603618" 题型八：双对称与周期性 PAGEREF _Tc185603618 \h 17
\l "_Tc185603619" 题型九：双函数与对称性 PAGEREF _Tc185603619 \h 21
\l "_Tc185603620" 题型十：类周期与倍增函数 PAGEREF _Tc185603620 \h 22
\l "_Tc185603621" 重难点突破：函数性质与导数 PAGEREF _Tc185603621 \h 26
\l "_Tc185603622" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc185603622 \h 29