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2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）专题03指对幂等函数值比较大小问题含解析答案
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这是一份2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）专题03指对幂等函数值比较大小问题含解析答案，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则以下四个数中最大的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a10．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．B．C．D．
13．设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
14．已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
15．有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
17．下列各式大小比较中，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
18．下列不等式中，正确的有（ ）
A．B．
C．D．
19．已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
20．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
21．已知，则的大小为（ ）
A．B．
C．D．
22．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
23．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
24．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
25．设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
26．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
27．已知正数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
28．已知，，，则a，b，c大小为（ ）
A．B．
C．D．
29．均为正实数，且，，，则的大小顺序为
A．B．C．D．
30．若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>>c
31．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
32．若，（）试比较的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
33．已知正数满足（为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
34．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，大小不确定
35．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c
36．已知正数，，满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
37．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
38．间的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
39．已知实数满足： ，则（ ）
A．B．C．D．
40．已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
41．设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
42．，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
43．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
44．设，则的大小关系为 .（从小到大顺序排）
参考答案：
1．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
3．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
4．A
【分析】取特殊值分别计算各个选项判断即可.
【详解】令,
,
故最大的是.
故选:A.
5．C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
6．D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
7．A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
8．B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
9．A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
10．D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
11．D
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，，
又因为在上单调递增，所以，即，
因为，所以，
又因为在上单调递增，所以，即，
综上：.
故选：D.
12．C
【分析】利用函数和的单调性，分别比较a、b与c的大小关系即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，
又，所以；
又因为函数在上单调递增，所以，
所以.
综上，.
故选：C
13．A
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性证明，利用对数函数单调性证明，即可得到正确结论.
【详解】指数函数，为减函数，
∴，
∵幂函数为增函数，
∴，
∴，
∵对数函数为减函数，
∴，即，
∴.
故选：A.
14．C
【分析】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，从而即可得答案.
【详解】解：因为，，
，
所以.
故选：C.
15．A
【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.
【详解】，
，
所以.
故选：A
16．D
【分析】将各数都同乘以，将作为中间量，再通过对数运算与对数函数单调性比较大小即可.
【详解】，
，又，
，即.
故选：D.
17．D
【分析】由不等式的性质，三角函数和指数对数函数的单调性，逐个判断选项是否正确.
【详解】，∴，即，选项A错误；
，则，得，故选项B错误；
，选项C错误；
，，∴，选项D正确.
故选：D
18．A
【分析】构造函数，利用导数可得在上单调递增，再由可判断A；举反例可判断B；当是第三象限角时由可判断C；当时利用为单调递增函数，对两边取对数对称矛盾可判断D.
【详解】对于A，令，则，即证，
令，则，
所以在上单调递增，故，
所以，即，故A正确；
对于B，当时显然不成立，故B错误；
对于C，当是第三象限角时，则，所以，
可得，故C错误；
对于D，当时，为单调递增函数，
若，则，
这与矛盾，故D错误.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：对于A选项，关键点是构造函数，再利用函数的单调性解题，考查了学生的思维能力、运算能力.
19．B
【分析】首先把指数式化成对数式，表示出.选项A，取倒数再根据换底公式可以判断A；选项B，根据换底公式转化为比较的大小关系；选项C，同样根据换底公式转化为比较底数的大小关系；选项D，把利用换底公式进行化简，再结合基本不等式得出结果.
【详解】设，，则，，.
选项A，，，，则，故A正确；
选项B，，，，
下面比较的大小关系，
因为，，，所以，即，又，
所以，即，故B不正确；
选项C，，，，
因为，又，所以，即，故C正确；
选项D，，
因为，所以，
又，所以，故D正确；
故选：B.
【点睛】指数和对数的比较大小问题，通常有以下方法：
（1）利用指数、对数函数的单调性比较大小，底数不一样时可以化成一样的再比较；
（2）比较与0，1的关系，也可以找中间值比较大小；
（3）当真数一样时，可以考虑用换底公式，换成底数一样，再比较大小；
（4）去常数再比较大小，当底数与真数成倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较；
（5）也可以结合基本不不等式进行放缩，再比较大小；
（6）构造函数，利用函数的单调性比较大小.
20．A
【分析】将变形为，然后从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的值域，得到，进而得到，，，结合，，得到，，求出.
【详解】要比较，，中的大小，
等价于比较，，中的大小，
∵，由定义域可知，
故，
∵在定义域上单调递减，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
故，则，
，
，由定义域可知：，
又∵，
∴，则，
，故，
∵，，
∴，
，
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：
（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；
（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；
（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0或1的关系，从而确定所比两值的大小关系．
21．D
【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可.
【详解】解：因为，，
设，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
又因为，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于较复杂的对数、指数式的大小比较，通常构造函数，利用所构造函数的单调性即可解答问题.
22．A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.
【详解】因为，，构造函数，
则，，，，
在上递增，在上递减.则有最大，即，.
若有两个解，则，
所以所以
即,
令，则，
故在上单增,所以，
即在上，.
若，则有，即.
故，所以.
当时，有，故
所以.
综上所述：.
故选：A
【点睛】利用函数单调性比较大小的类型：
（1）比较幂指数、对数值的大小；
（2）比较抽象函数的函数值的大小；
（3）利用单调性解抽象（结构复杂）函数型不等式.
23．C
【分析】取对数得，设，利用导数判断出函数的单调性可得答案.
【详解】因为，，，
则，
设，，
设，
则，
当时，，所以在上单调递减，
，所以，即在上单调递增，
因为，所以，即，
又，即，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点取对数，构造函数，利用函数的单调性解题.
24．A
【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.
【详解】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
25．D
【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.
【详解】由，，，
得，，，
构造函数，则，
当时，x＝1，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在x＝1处取最小值，
时，，即，
取，得，
，，即；
设，
则，
令，，
因为当时，令，
，单调递减，
又时，，则，即，
所以，
因为当时，，
所以当时，，函数单调递增，
又，所以，即，
所以当时，函数单调递增，
所以，即，
，即，
.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.
26．A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．
【详解】因为，，
故构造函数，则，
令，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又因为，，
所以，．
因为，又，
所以，即，故，
故选：A．
27．B
【分析】将式子变形，从而转化为比较和交点的横坐标的大小，数形结合即可判断.
【详解】因为，可得，
，可得，
，可得，
且考虑和的图象相交，
在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下：
根据图象可知.
故选：B.
【点睛】关键点睛：对题意关系式整理，转化为和的图象的交点分析求解.
28．D
【分析】a，b，c可以看成分别与，，图象的交点的横坐标，画出图象即可得出答案.
【详解】可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
画出函数的图象如下图所示，
由图象可知，.
故选：D.
29．D
【分析】作出函数的图象，将视为函数与函数，函数与函数，函数与函数交点得横坐标，结合图象得出的大小.
【详解】作出函数，，，的图象如下图所示：
则、、视为函数与函数、函数与函数，函数与函数的交点的横坐标，由图象可知.
故选：D.
30．A
【分析】先比较与的大小，构造函数，利用导数证明得到时，，从而得到，通过，，结合的单调性即可得到，从而得出判断.
【详解】令，则，∴在上单调递增，
，即，
∴，
又，，
∵，，
，故，
∴．
故选：A．
31．B
【分析】
利用构造函数法，结合导数判断出的大小关系，利用对数、指数运算判断出的关系，进而确定正确答案.
【详解】构造函数，
所以在上单调递增，所以，
，；
故只需比较与；也即比较与；
也即比较与，
而，，
所以，所以.
综上所述，.
故选：B
32．D
【分析】先估算出，进而求出的范围，再由求出的范围，最后构造函数估算出即可求解.
【详解】由得，故，又，故，
由常用数据得，下面说明，令，，
当时，，单增，当时，，单减，则，
则，则，，
令，则，，
，则，综上，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查指数对数的大小比较，关键点在于通过构造函数求出的范围，放缩得到，再由和结合即可求解.
33．C
【分析】构造，由函数单调性得到，通过变换可得到ABD正确，C错误.
【详解】由题意得，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，
故，
所以，B正确，
，A正确，
，D正确，
C选项，，
，
又在上单调递增，，
故，所以，
故，
设，，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，故，即，当且仅当时，等号成立，
故，
则，所以，
又，故，C错误.
故选：C
【点睛】常见的不等式放缩有，，，，，等，常用来比较大小.
34．B
【分析】根据题意化简可得，分别讨论，，三种情况，即可得到的大小关系.
【详解】由可知，，
移项可得，
即，
当时，，此时，即，故A错，B对，
当时，，此时，即，故A错，B对，
当时，，此时，即，故C，D错，
故选：B.
35．D
【分析】易得，.又，
比较与0的大小即可.
【详解】，因函数在上单调递增，
则，.
，因，则
.
故，综上有.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因，难以找到中间量，故结合换底公式做差，后再利用基本不等式比较大小.
36．D
【分析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性，得到，，再将看成，看成，利用上述的不等式比较大小即可．
【详解】解：由解得，
构造函数，，显然，
故是减函数，结合，故时，，
故，，
再令，，，当时，，
故在单调递增，结合，
故，，
则，
，
所以，，，
故，
由，，都是正数，故．
故选：D．
37．D
【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．
【详解】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故选：D．
38．B
【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得；利用二项式定理证得，再构造函数证得，从而得到；构造函数，证得，从而得到；由此得解.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，故，即，
所以，则，即，故；
因为，
所以其展开通项公式为，
故，，，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以，故，即；
令，则，
因为，所以，则，故，
所以在上单调递增，则，即，
易知，所以，则，即；
综上可得.
故选：B
39．A
【分析】首先可得，再设，即可得到，再结合指数函数的性质得到，同理得到、，再根据函数的单调性得到，即可判断.
【详解】因为，即，所以，
设，
，
设是单调递增函数，所以，所以，即，
又是单调递减函数，且，所以，
设
设是单调递增函数，所以，所以，即
又是单调递减函数，且，，
所以，
同理，由得，
又是单调递减函数，且，，
所以，
由，
所以且是单调递减函数，所以.
综上可得
故选：A
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是合理的构造函数，结合指数函数的性质判断.
40．C
【分析】根据给定条件，把化为，并将它视为a的函数，利用对勾函数的性质求得，再构造函数，利用对勾函数求解作答.
【详解】由，，得，，于是，
，令，
函数在上递减，在上递增，显然，
因此，令函数，，
令，在上单调递减，在上单调递增，
而，即，于是，
因为对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则，
所以实数m的取值范围是.
故选：C
【点睛】思路点睛：涉及多变量函数，结合给定条件采用消元、以其中的某个变量为自变量，另外的变量为参数，依次推理求解即可.
41．C
【分析】先假设，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.
【详解】假设，则，，
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
即有与假设矛盾，所以，
故选：C
42．C
【分析】找中间值进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小.
【详解】由题意得，，
因为，所以，
由泰勒展开得
，
，
所以
，
故，综上所述a，b，c的大小关系是.
故选：C
43．A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
44．
【分析】方法一：构造函数和，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.
【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法
记，则，当时，，故在上单调递增，故，故，
记，则，当时，，故在单调递减，故，故，因此．
故答案为：
[方法二]：泰勒公式放缩
，由函数切线放缩得，因此.
故答案为：
【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．
一、单选题
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则以下四个数中最大的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a
A．B．C．D．
11．设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．B．C．D．
13．设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
14．已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
15．有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
17．下列各式大小比较中，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
18．下列不等式中，正确的有（ ）
A．B．
C．D．
19．已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
20．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
21．已知，则的大小为（ ）
A．B．
C．D．
22．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
23．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
24．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
25．设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
26．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
27．已知正数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
28．已知，，，则a，b，c大小为（ ）
A．B．
C．D．
29．均为正实数，且，，，则的大小顺序为
A．B．C．D．
30．若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>>c
31．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
32．若，（）试比较的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
33．已知正数满足（为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
34．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，大小不确定
35．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c
36．已知正数，，满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
37．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
38．间的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
39．已知实数满足： ，则（ ）
A．B．C．D．
40．已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
41．设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
42．，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
43．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
44．设，则的大小关系为 .（从小到大顺序排）
参考答案：
1．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
3．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
4．A
【分析】取特殊值分别计算各个选项判断即可.
【详解】令,
,
故最大的是.
故选:A.
5．C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
6．D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
7．A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
8．B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
9．A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
10．D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
11．D
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，，
又因为在上单调递增，所以，即，
因为，所以，
又因为在上单调递增，所以，即，
综上：.
故选：D.
12．C
【分析】利用函数和的单调性，分别比较a、b与c的大小关系即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，
又，所以；
又因为函数在上单调递增，所以，
所以.
综上，.
故选：C
13．A
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性证明，利用对数函数单调性证明，即可得到正确结论.
【详解】指数函数，为减函数，
∴，
∵幂函数为增函数，
∴，
∴，
∵对数函数为减函数，
∴，即，
∴.
故选：A.
14．C
【分析】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，从而即可得答案.
【详解】解：因为，，
，
所以.
故选：C.
15．A
【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.
【详解】，
，
所以.
故选：A
16．D
【分析】将各数都同乘以，将作为中间量，再通过对数运算与对数函数单调性比较大小即可.
【详解】，
，又，
，即.
故选：D.
17．D
【分析】由不等式的性质，三角函数和指数对数函数的单调性，逐个判断选项是否正确.
【详解】，∴，即，选项A错误；
，则，得，故选项B错误；
，选项C错误；
，，∴，选项D正确.
故选：D
18．A
【分析】构造函数，利用导数可得在上单调递增，再由可判断A；举反例可判断B；当是第三象限角时由可判断C；当时利用为单调递增函数，对两边取对数对称矛盾可判断D.
【详解】对于A，令，则，即证，
令，则，
所以在上单调递增，故，
所以，即，故A正确；
对于B，当时显然不成立，故B错误；
对于C，当是第三象限角时，则，所以，
可得，故C错误；
对于D，当时，为单调递增函数，
若，则，
这与矛盾，故D错误.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：对于A选项，关键点是构造函数，再利用函数的单调性解题，考查了学生的思维能力、运算能力.
19．B
【分析】首先把指数式化成对数式，表示出.选项A，取倒数再根据换底公式可以判断A；选项B，根据换底公式转化为比较的大小关系；选项C，同样根据换底公式转化为比较底数的大小关系；选项D，把利用换底公式进行化简，再结合基本不等式得出结果.
【详解】设，，则，，.
选项A，，，，则，故A正确；
选项B，，，，
下面比较的大小关系，
因为，，，所以，即，又，
所以，即，故B不正确；
选项C，，，，
因为，又，所以，即，故C正确；
选项D，，
因为，所以，
又，所以，故D正确；
故选：B.
【点睛】指数和对数的比较大小问题，通常有以下方法：
（1）利用指数、对数函数的单调性比较大小，底数不一样时可以化成一样的再比较；
（2）比较与0，1的关系，也可以找中间值比较大小；
（3）当真数一样时，可以考虑用换底公式，换成底数一样，再比较大小；
（4）去常数再比较大小，当底数与真数成倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较；
（5）也可以结合基本不不等式进行放缩，再比较大小；
（6）构造函数，利用函数的单调性比较大小.
20．A
【分析】将变形为，然后从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的值域，得到，进而得到，，，结合，，得到，，求出.
【详解】要比较，，中的大小，
等价于比较，，中的大小，
∵，由定义域可知，
故，
∵在定义域上单调递减，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
故，则，
，
，由定义域可知：，
又∵，
∴，则，
，故，
∵，，
∴，
，
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：
（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；
（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；
（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0或1的关系，从而确定所比两值的大小关系．
21．D
【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可.
【详解】解：因为，，
设，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
又因为，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于较复杂的对数、指数式的大小比较，通常构造函数，利用所构造函数的单调性即可解答问题.
22．A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.
【详解】因为，，构造函数，
则，，，，
在上递增，在上递减.则有最大，即，.
若有两个解，则，
所以所以
即,
令，则，
故在上单增,所以，
即在上，.
若，则有，即.
故，所以.
当时，有，故
所以.
综上所述：.
故选：A
【点睛】利用函数单调性比较大小的类型：
（1）比较幂指数、对数值的大小；
（2）比较抽象函数的函数值的大小；
（3）利用单调性解抽象（结构复杂）函数型不等式.
23．C
【分析】取对数得，设，利用导数判断出函数的单调性可得答案.
【详解】因为，，，
则，
设，，
设，
则，
当时，，所以在上单调递减，
，所以，即在上单调递增，
因为，所以，即，
又，即，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点取对数，构造函数，利用函数的单调性解题.
24．A
【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.
【详解】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
25．D
【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.
【详解】由，，，
得，，，
构造函数，则，
当时，x＝1，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在x＝1处取最小值，
时，，即，
取，得，
，，即；
设，
则，
令，，
因为当时，令，
，单调递减，
又时，，则，即，
所以，
因为当时，，
所以当时，，函数单调递增，
又，所以，即，
所以当时，函数单调递增，
所以，即，
，即，
.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.
26．A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．
【详解】因为，，
故构造函数，则，
令，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又因为，，
所以，．
因为，又，
所以，即，故，
故选：A．
27．B
【分析】将式子变形，从而转化为比较和交点的横坐标的大小，数形结合即可判断.
【详解】因为，可得，
，可得，
，可得，
且考虑和的图象相交，
在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下：
根据图象可知.
故选：B.
【点睛】关键点睛：对题意关系式整理，转化为和的图象的交点分析求解.
28．D
【分析】a，b，c可以看成分别与，，图象的交点的横坐标，画出图象即可得出答案.
【详解】可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
画出函数的图象如下图所示，
由图象可知，.
故选：D.
29．D
【分析】作出函数的图象，将视为函数与函数，函数与函数，函数与函数交点得横坐标，结合图象得出的大小.
【详解】作出函数，，，的图象如下图所示：
则、、视为函数与函数、函数与函数，函数与函数的交点的横坐标，由图象可知.
故选：D.
30．A
【分析】先比较与的大小，构造函数，利用导数证明得到时，，从而得到，通过，，结合的单调性即可得到，从而得出判断.
【详解】令，则，∴在上单调递增，
，即，
∴，
又，，
∵，，
，故，
∴．
故选：A．
31．B
【分析】
利用构造函数法，结合导数判断出的大小关系，利用对数、指数运算判断出的关系，进而确定正确答案.
【详解】构造函数，
所以在上单调递增，所以，
，；
故只需比较与；也即比较与；
也即比较与，
而，，
所以，所以.
综上所述，.
故选：B
32．D
【分析】先估算出，进而求出的范围，再由求出的范围，最后构造函数估算出即可求解.
【详解】由得，故，又，故，
由常用数据得，下面说明，令，，
当时，，单增，当时，，单减，则，
则，则，，
令，则，，
，则，综上，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查指数对数的大小比较，关键点在于通过构造函数求出的范围，放缩得到，再由和结合即可求解.
33．C
【分析】构造，由函数单调性得到，通过变换可得到ABD正确，C错误.
【详解】由题意得，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，
故，
所以，B正确，
，A正确，
，D正确，
C选项，，
，
又在上单调递增，，
故，所以，
故，
设，，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，故，即，当且仅当时，等号成立，
故，
则，所以，
又，故，C错误.
故选：C
【点睛】常见的不等式放缩有，，，，，等，常用来比较大小.
34．B
【分析】根据题意化简可得，分别讨论，，三种情况，即可得到的大小关系.
【详解】由可知，，
移项可得，
即，
当时，，此时，即，故A错，B对，
当时，，此时，即，故A错，B对，
当时，，此时，即，故C，D错，
故选：B.
35．D
【分析】易得，.又，
比较与0的大小即可.
【详解】，因函数在上单调递增，
则，.
，因，则
.
故，综上有.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因，难以找到中间量，故结合换底公式做差，后再利用基本不等式比较大小.
36．D
【分析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性，得到，，再将看成，看成，利用上述的不等式比较大小即可．
【详解】解：由解得，
构造函数，，显然，
故是减函数，结合，故时，，
故，，
再令，，，当时，，
故在单调递增，结合，
故，，
则，
，
所以，，，
故，
由，，都是正数，故．
故选：D．
37．D
【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．
【详解】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故选：D．
38．B
【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得；利用二项式定理证得，再构造函数证得，从而得到；构造函数，证得，从而得到；由此得解.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，故，即，
所以，则，即，故；
因为，
所以其展开通项公式为，
故，，，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以，故，即；
令，则，
因为，所以，则，故，
所以在上单调递增，则，即，
易知，所以，则，即；
综上可得.
故选：B
39．A
【分析】首先可得，再设，即可得到，再结合指数函数的性质得到，同理得到、，再根据函数的单调性得到，即可判断.
【详解】因为，即，所以，
设，
，
设是单调递增函数，所以，所以，即，
又是单调递减函数，且，所以，
设
设是单调递增函数，所以，所以，即
又是单调递减函数，且，，
所以，
同理，由得，
又是单调递减函数，且，，
所以，
由，
所以且是单调递减函数，所以.
综上可得
故选：A
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是合理的构造函数，结合指数函数的性质判断.
40．C
【分析】根据给定条件，把化为，并将它视为a的函数，利用对勾函数的性质求得，再构造函数，利用对勾函数求解作答.
【详解】由，，得，，于是，
，令，
函数在上递减，在上递增，显然，
因此，令函数，，
令，在上单调递减，在上单调递增，
而，即，于是，
因为对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则，
所以实数m的取值范围是.
故选：C
【点睛】思路点睛：涉及多变量函数，结合给定条件采用消元、以其中的某个变量为自变量，另外的变量为参数，依次推理求解即可.
41．C
【分析】先假设，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.
【详解】假设，则，，
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
即有与假设矛盾，所以，
故选：C
42．C
【分析】找中间值进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小.
【详解】由题意得，，
因为，所以，
由泰勒展开得
，
，
所以
，
故，综上所述a，b，c的大小关系是.
故选：C
43．A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
44．
【分析】方法一：构造函数和，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.
【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法
记，则，当时，，故在上单调递增，故，故，
记，则，当时，，故在单调递减，故，故，因此．
故答案为：
[方法二]：泰勒公式放缩
，由函数切线放缩得，因此.
故答案为：
【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．
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