新高考数学二轮专题训练专题02 不等式与复数（6大核心考点）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题训练专题02 不等式与复数（6大核心考点）（讲义）（2份，原卷版+解析版），共5页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151996079" PAGEREF _Tc151996079 \h 1
\l "_Tc151996080" PAGEREF _Tc151996080 \h 2
\l "_Tc151996081" PAGEREF _Tc151996081 \h 3
\l "_Tc151996082" PAGEREF _Tc151996082 \h 4
\l "_Tc151996083" PAGEREF _Tc151996083 \h 11
\l "_Tc151996084" 考点一：基本不等式二元式 PAGEREF _Tc151996084 \h 11
\l "_Tc151996085" 考点二：和式与积式 PAGEREF _Tc151996085 \h 13
\l "_Tc151996086" 考点三：柯西不等式二元式 PAGEREF _Tc151996086 \h 16
\l "_Tc151996087" 考点四：齐次化与不等式最值 PAGEREF _Tc151996087 \h 18
\l "_Tc151996088" 考点五：复数的四则运算 PAGEREF _Tc151996088 \h 22
\l "_Tc151996089" 考点六：复数的几何意义 PAGEREF _Tc151996089 \h 23
有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档.

1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
4、对复数几何意义的理解及应用
（1）复数，复平面上的点及向量相互联系，即；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
1．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是
A．B．C．D．
2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是
A．B．C．D．
3．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立
A．B．C．D．
4．（2023•新高考Ⅰ）已知，则
A．B．C．0D．1
5．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2023•甲卷）
A．B．1C．D．
7．（2023•乙卷）
A．1B．2C．D．5
8．（2022•新高考Ⅱ）
A．B．C．D．
9．（2022•甲卷）若，则
A．B．C．D．
10．（2022•乙卷）已知，且，其中，为实数，则
A．，B．，C．，D．，
11．（2022•新高考Ⅰ）若，则
A．B．C．1D．2
12．（2021•甲卷）已知，则
A．B．C．D．
13．（2021•新高考Ⅰ）已知，则
A．B．C．D．
14．（2021•新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．（2021•乙卷）设，则
A．B．C．D．
16．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则
A．B．C．D．
17．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为 ．
18．（2021•天津）已知，，则的最小值为 ．
19．（2023•上海）已知，且为虚数单位），满足，则的取值范围为 ．
考点一：基本不等式二元式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
不等式可变形为：或，其中．
例1．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
例2．（2023·山西太原·高三统考期中）已知（，且），，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）实数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例4．（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点二：和式与积式
例5．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8B．的最小值为8
C．的最小值为D．的最小值为
例6．（多选题）（2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知，，则（ ）
A．的最小值为4B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
例7．（多选题）（2023·湖北·高三校联考期中）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（多选题）（2023·广东佛山·统考一模）已知，，且，则（ ）
A．的最小值是1B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是4
例9．（多选题）（2023·新疆·高三校联考期中）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
考点三：柯西不等式二元式
设，，，，有 当且仅当时等号成立．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值是
例11．（2023·浙江台州·高三统考期末）已知正实数满足，则的最小值为 ．
例12．（2023·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 ．
例13．（2023·浙江宁波·高三镇海中学校考开学考试）若非负实数a，b，c的和为1，则的最小值是 ．
考点四：齐次化与不等式最值
关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。
例14．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知（），则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·重庆·高三校联考阶段练习）对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例16．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知，，，则的最小值为（ ）
A．7B．C．D．
例17．（2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．
C．D．
例18．（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例19．（2023·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·山东青岛·高一统考开学考试）已知，，，则（ ）
A．S的最大值是B．S的最大值是
C．S的最大值是D．S的最大值是
考点五：复数的四则运算
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
例21．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知，则（ ）
A．B．2C．D．
例22．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A．2B．C．D．
例23．（2023·浙江·统考一模）若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
例24．（2023·浙江杭州·高三统考期中）设复数（i为虚数单位），则（ ）
A．B．0C．D．2
例25．（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知是虚数单位，则复数（ ）
A．B．C．D．
考点六：复数的几何意义
复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
例26．（2023·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例27．（2023·山西·校考模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例28．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例29．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（ ）
A．+iB．+iC．iD．i
考点要求
考题统计
考情分析
基本不等式
2023年上海卷第6题，4分
2022年上海卷第14题，5分
2022年新高考II卷第12题，5分
2021年上海卷第16题，5分
2023年天津卷第13题，5分
【命题预测】
预测2024年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2024年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！
复数的四则运算
2023年新高考I卷第2题，5分
2023年新高考甲卷第2题，5分
2023年新高考乙卷第1题，5分
2022年新高考II卷第2题，5分
复数的几何意义
2023年新高考II卷第1题，5分
2023年上海卷第11题，5分
2022年新高考乙卷第2题，5分
已知式
目标式
方法选取
和式
积式
基本不等式
积式
和式
基本不等式
和式
和式
柯西不等式
积式
积式
柯西不等式