初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）认识三角形学案

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）认识三角形学案，共8页。学案主要包含了模块一 素养目标，模块二 课前预习，模块三 要点精讲，动手操作，模块四 例题剖析，模块五 拓展延伸，模块六 实战演练等内容，欢迎下载使用。
【模块一 素养目标】
我能说出三角形的定义，准确识别三角形的边、角、顶点等基本要素；
我能正确使用符号"△"表示三角形，并规范标注其内角和对边；
我能通过测量、拼接等实验方法验证三角形内角和定理；
我能根据内角的大小对三角形进行分类，并准确判断三角形的类型；
我能运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。
【模块二 课前预习】
一、思维导图框架
请你在预习教材后，尝试绘制本节课的思维导图框架。中心词为"三角形"，至少分出3个分支：定义与要素、表示方法、内角和性质。把你想到的关键词都写上去，上课咱们对照完善。
二、核心问题
1. 小学阶段我们已经认识了三角形，你能回忆一下三角形有哪些基本特征吗？
2. 三角形的三个内角加起来等于多少度？你是怎么知道的？
3. 如果一个三角形有两个角是锐角，它一定是锐角三角形吗？先别急着回答，带着这个问题走进课堂。
三、预习检测
1. 由不在同一直线上的三条线段相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形有条边，个内角，个顶点。
3. 三角形的内角和等于度。
4. 三角形按角的大小可分为三角形、三角形和三角形。
【模块三 要点精讲】
一、三角形的定义与表示
1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。这里的"不在同一直线上"和"首尾顺次相接"是两个关键条件，缺一不可。如果三条线段在同一直线上，它们只能组成一条线段，而不是三角形；如果不是首尾顺次相接，就会出现缺口或交叉，也不是三角形。
2. 基本要素：三角形有三条边、三个内角和三个顶点。相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
3. 表示方法：三角形用符号"△"表示，顶点是A、B、C的三角形记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。三角形的边可以用两个顶点字母表示，如边AB、边BC、边CA，也可以用小写字母a、b、c分别表示顶点A、B、C所对的边。
图1 三角形的基本要素
【关键点】表示三角形时，顶点字母的顺序没有严格规定，但通常按顺时针或逆时针方向依次书写，这样更清晰直观。
二、三角形的分类
1. 按角分类：根据三角形内角的大小，可以将三角形分为三类。三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
2. 直角三角形的特殊性：直角三角形可以用符号"Rt△"表示，如Rt△ABC。在直角三角形中，夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。直角三角形的两个锐角互余，也就是它们的和等于90°。
3. 分类的注意事项：判断三角形的类型时，要看最大的内角是什么角。如果最大的内角是锐角，那就是锐角三角形；如果最大的内角是直角，那就是直角三角形；如果最大的内角是钝角，那就是钝角三角形。
图2 三角形按角分类
【要牢记】一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角。因为如果有两个直角或钝角，三个内角的和就会超过180°，这是不可能的。这里容易踩坑，别看到一个锐角就说是锐角三角形。
三、三角形内角和定理
1. 定理内容：三角形三个内角的和等于180°。这是三角形最基本的性质之一，无论三角形的形状、大小如何变化，它的三个内角加起来总是180°。
2. 验证方法：可以通过测量法、剪拼法、折叠法等实验方法来验证。测量法就是用量角器分别量出三个角的度数，再相加；剪拼法就是把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角；折叠法就是把三角形的三个角向内折叠，使它们的顶点重合，也能拼成一个平角。
3. 简单应用：已知三角形的两个内角，可以求出第三个内角的度数。方法是用180°减去已知的两个角的度数。在直角三角形中，已知一个锐角，可以用90°减去这个锐角，直接求出另一个锐角的度数。说白了，就是180°这个总数减去已知的，剩下的就是未知的。
图3 三角形内角和剪拼验证
【动手操作】请你拿出课前准备的三角形纸片，尝试用剪拼法验证三角形内角和定理。先在三角形的三个顶点处标上∠1、∠2、∠3，然后把三个角剪下来，顶点对顶点拼在一起，观察它们组成了什么角。小组内交流一下你的发现。
四、板书设计
认识三角形
1. 定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接
2. 要素：三条边、三个内角、三个顶点
3. 表示：△ABC
4. 分类（按角）：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
5. 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
【重点】学生在学习三角形内角和定理时，最常出现的问题是对"任意三角形"这一前提理解不深，容易误以为只有某些特殊三角形（如等边三角形、直角三角形）的内角和才是180°，而对形状不规则的三角形就产生怀疑。还有的学生在计算角度时，经常忘记三角形内角和是180°这个基本结论，或者在计算时出现算术错误，特别是涉及多个角的加减运算时，容易搞混角的名称和数值。另外，在判断三角形类型时，很多学生只看其中一个角是锐角就判定为锐角三角形，忽略了必须三个角都是锐角这个条件，这是概念理解不透彻的典型表现。
【难点】三角形内角和定理的探究与证明是本节课的难点。突破方法：课堂上安排5分钟的小组实验活动，每个小组发放不同形状的三角形纸片（锐角、直角、钝角各一个），让学生通过剪拼的方式验证内角和。教师在巡视时引导学生思考："为什么三个角拼在一起总是平角？"然后通过平行线的性质进行简单的说理，让学生初步体会证明的思路。具体操作：先让学生把∠A和∠B剪下来，拼到∠C的旁边，观察发现三个角组成一条直线。然后教师在黑板上画出辅助线——过点C作AB的平行线，利用内错角相等的性质，把∠A和∠B转化到与∠C同一个顶点处，从而证明三个角的和是180°。这样从实验直观过渡到逻辑说理，学生更容易接受。
【模块四 例题剖析】
一、三角形的识别与表示
例1 如图，图中有几个三角形？用符号表示这些三角形，并说出每个三角形的边和角。
【图像说明：一个大三角形ABC，内部有一条线段AD，D在BC上，形成两个小三角形ABD和ACD】
解：图中有3个三角形，分别是△ABC、△ABD、△ACD。
△ABC的三条边是AB、BC、CA，三个内角是∠A、∠B、∠C；
△ABD的三条边是AB、BD、DA，三个内角是∠BAD、∠B、∠ADB；
△ACD的三条边是AC、CD、DA，三个内角是∠CAD、∠C、∠ADC。
方法总结：数三角形个数时，要按照一定的顺序数，做到不重不漏。可以先数单个的小三角形，再数由两个小三角形组成的大三角形，依此类推。
二、三角形内角和的计算
例2 在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 70°，求∠C的度数。
解：根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°
所以∠C = 180° - ∠A - ∠B
= 180° - 50° - 70°
= 60°
方法总结：已知三角形的两个内角求第三个内角，直接用180°减去已知的两个角即可。计算时要注意角度单位的统一，都是度就可以直接相加减。
例3 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A = 35°，求∠B的度数。
解：因为△ABC是直角三角形，∠C = 90°
所以∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
所以∠B = 90° - ∠A
= 90° - 35°
= 55°
方法总结：在直角三角形中，两个锐角的和等于90°，所以已知一个锐角，直接用90°减去它就能得到另一个锐角，比用180°减更简便。注意啦，这个小技巧能帮你节省不少计算时间。
三、三角形的分类判断
例4 根据下列条件，判断△ABC是什么三角形。
（1）∠A = 60°，∠B = 50°，∠C = 70°
（2）∠A = 35°，∠B = 55°
（3）∠A = 20°，∠B = 30°
解：
（1）因为三个角都是锐角（都小于90°），所以△ABC是锐角三角形。
（2）先求∠C = 180° - 35° - 55° = 90°，有一个角是直角，所以△ABC是直角三角形。
（3）先求∠C = 180° - 20° - 30° = 130°，有一个角是钝角（大于90°），所以△ABC是钝角三角形。
方法总结：判断三角形按角分类的类型，关键是找出最大的内角，看它是锐角、直角还是钝角。如果最大的内角是锐角，就是锐角三角形；是直角就是直角三角形；是钝角就是钝角三角形。你可能会问，为什么只看最大的角？因为最大的角决定了三角形的类型，其他角肯定比它小嘛。
【模块五 拓展延伸】
一、迁移应用
1. 一个三角形的两个内角分别是45°和65°，第三个内角是多少度？这个三角形是什么三角形？
2. 在△ABC中，∠A = ∠B = 2∠C，求三个内角的度数。
3. 如图，在△ABC中，∠A = 60°，∠B和∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数。
【图像说明：三角形ABC，角B和角C的平分线相交于内部一点O】
二、思维拓展
1. 你能想出几种方法来验证三角形内角和定理？请选择一种你最喜欢的方法，简要写出操作步骤。
2. 如果把一个三角形的三个内角剪下来拼在一起，除了拼成平角，还能拼成其他形状吗？试试看。
3. 一个三角形中，最多有几个直角？最多有几个钝角？最少有几个锐角？为什么？
4. 把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是多少度？是90°还是180°？先猜一猜，再验证。
【模块六 实战演练】
一、判断题
1. 由三条线段组成的图形叫做三角形。（ ）
2. 三角形的内角和可能大于180°，也可能小于180°。（ ）
3. 直角三角形只有一个锐角。（ ）
4. 钝角三角形的两个锐角之和小于90°。（ ）
5. 有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形。（ ）
二、填空题
1. 三角形按角的大小可分为三角形、三角形和三角形。
2. 在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 60°，则∠C = °。
3. 在直角三角形中，一个锐角是42°，另一个锐角是°。
4. 一个三角形中，最大的角是89°，这个三角形是三角形。
5. 三角形的三个内角中，至少有个锐角。
6. 在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，则∠A = °，∠B = °，∠C = °。
三、解答题
1. 在△ABC中，∠A = 55°，∠B比∠A大15°，求∠C的度数。
2. 已知三角形的三个内角的度数比为2:3:4，求这三个内角的度数。
3. 如图，在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数。
【图像说明：三角形ABC，CD是角C的平分线，D在AB上】
4. 在△ABC中，∠A = 80°，∠B和∠C的平分线相交于点O，求∠BOC的度数。
5. 如图，已知∠1 = 20°，∠2 = 25°，∠A = 35°，求∠BDC的度数。
【图像说明：三角形ABC内部有一点D，连接AD、BD、CD，∠BAD=∠1，∠CAD=∠2】
6. （选做题）在△ABC中，∠A = 50°，高BD和CE所在的直线相交于点H，求∠BHC的度数。
四、参考答案
（一）判断题
1. ×。解析：必须是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接。
2. ×。解析：任意三角形的内角和都是180°。
3. ×。解析：直角三角形有两个锐角，它们的和等于90°。
4. √。解析：钝角大于90°，所以另外两个锐角的和一定小于90°。
5. ×。解析：有一个角是60°的等腰三角形不一定是等边三角形，只有顶角或底角为60°时才是，但题目没说哪个角。
（二）填空题
1. 锐角、直角、钝角
2. 80
3. 48
4. 锐角
5. 两
6. 30，60，90
（三）解答题
1. 解：∠B = 55° + 15° = 70°，∠C = 180° - 55° - 70° = 55°。
2. 解：设三个角分别为2x、3x、4x，则2x + 3x + 4x = 180°，9x = 180°，x = 20°。所以三个角分别为40°、60°、80°。
3. 解：∠ACB = 180° - 70° - 50° = 60°，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD = 60° ÷ 2 = 30°。
4. 解：∠B + ∠C = 180° - 80° = 100°，因为BO、CO分别平分∠B和∠C，所以∠OBC + ∠OCB = 100° ÷ 2 = 50°，所以∠BOC = 180° - 50° = 130°。
5. 解：∠ABC + ∠ACB = 180° - 35° = 145°，∠DBC + ∠DCB = 145° - 20° - 25° = 100°，所以∠BDC = 180° - 100° = 80°。
6. 解：在四边形AEHD中，∠AEH = ∠ADH = 90°，∠A = 50°，所以∠EHD = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°，所以∠BHC = ∠EHD = 130°（对顶角相等）。