新高考数学二轮复习选题题+解答题专项练专题三 空间几何（解答题10种考向）（2份，原卷版+解析版）

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考向一 平行
【例1-1】（2025·贵州六盘水·一模）在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且．
(1)求证：平面；
(2)求四棱台的高；
(3)求异面直线与所成的角的余弦值．
【例1-2】（24-25新疆乌鲁木齐）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)求点到平面的距离．
【例1-3】（2025·四川·模拟预测）如图，在三棱台中，，，点，分别为，的中点，平面，．
(1)若平面平面，求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【例1-4】（24-25高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点.
(1)证明：平面
(2)若，，求二面角的正弦值.
【例1-5】（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且．
(1)证明：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
【例1-6】（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）在五面体中，平面，平面．
(1)求证：；
(2)若，，，求二面角的大小．
【例1-7】（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
(1)求证：平面．
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
考向二 垂直
【例2-1】（24-25 河南漯河·期末）如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足．
(1)证明：面；
(2)求二面角的大小．
【例2-2】（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面，，平面平面，，四棱锥的体积为4.
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【例2-3】（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【例2-4 】（2025·广东惠州·三模）如图，正三棱柱的所有棱长都为为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与面所成角的余弦值.
【例2-5】（2025·广东汕头·一模）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
考向三 空间距离
【例3-1】（24-25高三下·天津·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【例3-2】（24-25高三上·天津·期末）如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【例3-3】（24-25高三下·天津·阶段练习）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，.
(1)求证: 平面;
(2)求平面与平所成夹角的余弦值；
(3)求点 A 到平面的距离.
考向四 动点问题
【例4-1】（24-25 广东茂名·期末）如图所示，在五面体中，已知平面平面，底面是平行四边形，是正三角形，.
(1)证明：平面；
(2)证明：四边形为矩形；
(3)若点是棱上的动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【例4-2】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点．
(1)若，证明：平面；
(2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由．
【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）如图1所示，在平行四边形EBCD中，，垂足为，，将沿折到的位置，使得二面角的大小为，如图2所示，点为棱的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)证明：；
(3)若点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
考向五 折叠问题
【例5-1】（2025·新疆·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，点为中点，点分别为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面.

(1)求证：平面；
(2)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由.
【例5-2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2.
(1)若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由；
(2)如图3，若平面平面，且点N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【例5-3】（24-25高三下·江西·开学考试）如图，在直角梯形中，.以为折痕将折起，使到达的位置且.
(1)试在线段上确定一点，使平面，并说明理由；
(2)求二面角的正切值.
【例5-4】（2025·海南·模拟预测）如图（1），正方形的边长为，是的中点，点在边上且.将沿折起到图（2）中的位置，使得平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)如图（2），点在线段上，过点、的平面截四棱锥所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由）
考向六 最值问题
【例6-1】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，.
(1)若，证明：；
(2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围.
【例6-2】（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【例6-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，且，.
(1)求证：；
(2)若二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【例6-4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
(1)设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
(2)求二面角的余弦值的最小值.
考向七 外接球
【例7-1】（24-25高三上·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，.
(1)证明：三棱柱是正三棱柱；
(2)证明：；
(3)设平面平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积.
【例7-2】（2024湖北）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求三棱锥的外接球表面积.
【例7-3】（2023·全国·模拟预测）如图，球O是正三棱锥和的外接球，M为的外心，直线AM与线段BC交于点D，D为BC的中点，两三棱锥的高之比为，E为PA上一点，且．
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
【例7-4】（2024云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点，
（1）求证：，，，四点在同一球面上，并说明球心及半径；
（2）画出平面与平面的交线（不需要写画法）．
（3）设平面与平面的交线为，直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成的锐二面角的大小．
考向八 轨迹（长度）
【例8-1】（24-25 上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线和夹角的大小；
(3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积.
【例8-2】（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面．
(1)求点的轨迹长度；
(2)当点到面的距离为时，求二面角的余弦值．
【例8-3】（2024·全国·模拟预测）如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点．
(1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）；
(2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值．
【例8-4】（2024·安徽芜湖·二模）在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于．
(1)当时，求点的轨迹长度；
(2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．
【例8-5】（24-25上海·阶段练习）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置.
(1)证明： ；
(2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离；
(3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围
【例8-6】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点.
(1)求直线到平面的距离；
(2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
(3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.
【例8-7】（24-25 福建福州·期中）如图，四边形与均为菱形，，，.

(1)求证：平面；
(2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；
(3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度.
考向九 四点共面
【例9-1】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在多面体中，的中点为.
(1)求证：四点共面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【例9-2】（24-25广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值；
(3)点在上，且.判断，，，四点是否共面，说明理由.
【例9-3】（2024河北邯郸·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，分别为棱的中点，.

(1)证明：四点共面；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
【例9-4】（2025山东威海）如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且．
(1)求证：面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【例9-5】（2023·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，面ABCD，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．
(1)求证：面PAD；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设点G在PB上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面．
考向十 新定义
【例10-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），且面积的最大值为2．将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图1，2所示．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求折叠后，平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)求折叠后面积的最大值．
【例10-2】（2024高三·全国·专题练习）空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”．
(1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标；
(2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【例10-3】（2025·山东日照·一模）已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．
(1)证明：平面；
(2)若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”．
①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值；
②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程．
【例10-4】（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，球的半径为1．对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面，唯一的公共点叫切点，球心和切点的连线垂直于切平面，类似于二元一次方程表示平面内的直线，三元一次方程可以表示空间的平面．例如：方程表示经过三点的平面．方程表示坐标平面．
(1)求球在点处的切平面方程，并求该平面与坐标平面的交线在平面内的直线方程；
(2)过球面上任意一点作切平面，若平面分别与x，y，z的正半轴相交于三点，求面积的最小值；
(3)过球外一个定点作球的切平面有无数个，全体切点所确定的平面记为面．设是球外两个定点，证明：若面，则面．