新高考数学二轮复习选题题+解答题专项练专题二 三角函数与解三角形（解答题13种考向）（2份，原卷版+解析版）

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考向一 正余弦定理公式的简单运用
【例1-1】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若，求的面积．
【例1-2】（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的高为，求三角形ABC的周长.
【例1-3】（2025·江西九江·一模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【例1-4】（2025·河南·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，．
(1)求；
(2)设，．
①求；
②求的值．
【例1-5】（2025·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)设D为边AB的中点，若，且，求a．
考向二 三角函数的性质
【例2-1】（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知函数的最小正周期为．
(1)求和的对称中心；
(2)求在上的最值并求相应的的值．
【例2-2】（23-24辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)，求函数的值域；
(3)若，求满足不等式的的取值范围.
【例2-3】（24-25高三上·浙江金华·期末）函数的的部分图象如图，且经过点，.

(1)求函数的解析式；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值.
【例2-4】（24-2山西·期末）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
考向三 正余弦定理在几何中的运用
【例3-1】（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且．
(1)求证：为等边三角形；
(2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值．
【例3-2】（24-25高三上·江西·期末）如图，在平面四边形中， 点E在上，且
(1)求;
(2)求的面积.
【例3-3】（2025·海南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长.
【例3-4】（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，且四点共圆．

(1)求的值；
(2)若点为上一点，的面积为，求的值．
考向四 三角形的中线、角平分线、高
【例4-1】（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，．
(1)求的长；
(2)求的长.
【例4-2】（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
【例4-3】（24-25贵州·阶段练习）的内角，，的对边分别是，，，，，____________.
(1)若在横线处填入，求；
(2)给出两个条件：
①内角的平分线长为；
②BC边上的中线长为.
从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
考向五 三角形的四心
【例5-1】（2024广西）已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若，，为的___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【例5-2】（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
【例5-3】（24-25高三上·辽宁·期末）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若是的重心，求的面积.
考向六 三角形周长与面积的最值
【例6-1】（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【例6-2】（24-25高三上·浙江·期末）已知
(1)求的最小正周期;
(2)若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围.
【例6-3】（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【例6-4】（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【例6-5】（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为.
(1)求；
(2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围.

考向七 三角形的存在性问题
【例7-1】（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，.
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【例7-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，.
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【例7-3】（24-25高三上·河南南阳·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
考向八 证明题
【例8-1】（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：.
【例8-2】（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，.
(1)求A；
(2)证明：.
【例8-3】（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【例8-4】（2024高三下·广东揭阳·阶段练习）在中，角的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若外接圆的半径为，点D为边的中点，证明：．
考向九 最值问题
【例9-1】（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求的值.
(2)若，求边上的高的取值范围.
【例9-2】（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为.
(1)若，求的面积S；
(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
【例9-3】（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点．
(1)若，求角A的平分线AD的长；
(2)求BC边上中线AD长的最小值．
【例9-4】（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线.
(1)证明：；
(2)若，，求的最大值.
【例9-5】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围.
考向十 解三角形与数列综合
【例10-1】（24-25高三下·福建·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：成等差数列；
(2)若的面积为，求．
【例10-2】．（24-25高三上·辽宁大连·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求证：A，B，C成等差数列；
(2)若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长.
【例10-3 】（24-25高三上·安徽·期末）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若对任意的，都有，且成等差数列，也成等差数列，证明：的周长为定值．
【例10-4】（24-25高三上·山东日照·期末）已知等差数列的公差，集合.
(1)若，，求集合；
(2)若，集合中恰好有两个元素，求；
(3)当时，是否存在使得集合中恰好有三个元素，如果存在，求出的值，并给出证明过程；如果不存在，请说明理由.
考向十一 解三角形与导数综合
【例11-1】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为．
(1)求的值以及函数的单调减区间；
(2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．
【例11-2】（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数．
(1)当时，判断的奇偶性；
(2)当为偶数时，方程有解，求的最小值；
(3)若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【例11-3】（2025·辽宁·二模）已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为.
(1)求证：；
(2)若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有；
(3)求的最小值.
考向十二 新定义
【例12-1】（2025·江西·一模）设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”．
(1)若函数，证明：不是“函数”．
(2)若函数，证明：是“函数”．
(3)对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：．
【例12-2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数．
(1)求的对称轴方程及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，已知，求．
【例12-3】（24-25高三上·河北沧州·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
【例12-4】（2025·江西南昌·模拟预测）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离.
考向十三 一题多解
【例13-1】（24-25高三上·山西吕梁·期末）记的内角的对边分别为，已知为锐角．
(1)求证：；
(2)求；
(3)若，四边形内接于圆，求面积的最大值．
【例13-2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)判断的形状；
(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.
①当时，求线段长的最小值；
②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
参考公式：，.
【例13-3】（24-25高三上·广东·期末）在中，角的对边分别为，且
(1)求；
(2)已知为的中点，于于，若求的面积.
【例13-4】（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求边；
(2)若，求面积的最大值.