新高考数学二轮复习选题题+解答题专项练专题六 导数（解答题10种考向）（2份，原卷版+解析版）

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考向一 含参函数单调性的讨论
【例1-1】（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【例1-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.
(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；
(2)讨论的单调性.
【例1-3】（2025·广东江门·一模）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值．
【例1-4】（2025·山东菏泽·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，存在，使得，求a的取值范围.
【例1-5】（2025·江西·一模）已知函数，
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调性；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
【例1-6】（2025·陕西安康·二模）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，恒成立，求实数的最小值．
考向二 切线
【例2-1】（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数
(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
(2)若在处有极值，求a与b的值.
【例2-2】（2025·云南昆明·一模）已知函数，，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值.
【例2-3】（2025·北京平谷·一模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由.
【例2-4】（2025·陕西榆林·二模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)已知直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值.
【例2-5】（2024·河南）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与曲线相交于不同的两点，，曲线在A，B点处的切线交于点，求的值；
(2)当曲线在处的切线与曲线相切时，若，恒成立，求a的取值范围．
【例2-6】（2025·山西）已知，函数.
(1)若是增函数，求的取值范围；
(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.
考向三 零点
【例3-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数在上零点的个数.
【例3-2】（2025·贵州毕节·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程有两个根，求的取值范围.
【例3-3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数在点处的切线与轴垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值；
(3)求方程的实数根的个数.
【例3-4】（2025·山东泰安·一模）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【例3-5】（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，试判断的零点个数并证明．
考向四 极值点
【例4-1】（2025·河北石家庄·一模）已知函数.
(1)讨论的极值点个数；
(2)若存在实数使得轴为的切线，求的最大值.
【例4-2】（2024·河南）已知函数.
(1)证明：恰有一个零点；
(2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.
【例4-3】（2024·贵州）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，，证明：.
考向五 恒成立
【例5-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线为l，l不过原点，且l在坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围．
【例5-2】（2025·河北邯郸·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【例5-3】（24-25河北保定·期末）已知函数，，其中为的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
【例5-4】（2024·江西）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．
考向六 不等式的证明---单变量
【例6-1】（2025·山东青岛·一模）已知函数，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：.
【例6-2】（2025·河北·模拟预测）已知，曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直.
(1)求a，b的值；
(2)当时，求证：.
【例6-3】（2025·陕西西安·二模）已知函数．
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若是函数的极值点，求证：．
【例6-4】（2025·河南安阳·一模）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若当时，，求实数的取值范围；
(3)设实数，满足，证明：.
考向七 不等式证明---双变量
【例7-1】（2025·江西赣州·一模）已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，．
(1)求的取值范围：
(2)（ⅰ）证明：对一切的且，都有；
（ⅱ）证明：．
【例7-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若，
（i）当时，求函数的最小值；
（ii）若有两个实根，，且，证明：.
【例7-3】（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，证明：
【例7-4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若是定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，证明：.
考向八 导数与数列
【例8-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数有两个不同的零点.
(1)证明：；
(2)当时，求的最大值；
(3)若，数列满足，证明：.
【例8-2】（2025·云南大理·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.
【例8-3】（2024·四川·一模）已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题：
(1)当时，证明；
(2)上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且．
①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围；
②若，证明：．
考向九 求参数
【例9-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
【例9-2】（2025·黑龙江·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
【例9-3】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知.
(1)当时，过原点作函数的切线，求切线的方程；
(2)讨论函数的导函数的单调性；
(3)当时，，求实数的取值范围.
【例9-4】（2025·陕西渭南·一模）已知，函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恒成立．求的取值范围．
【例9-5】（2025·黑龙江·模拟预测）函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围.
考向十 新定义
【例10-1】（2025·山东青岛·一模）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
(1)类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明；
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
【例10-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：当时，.
【例10-3】（2025·福建莆田·二模）若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设．
(1)求的单调区间：
(2)判断在上是否具有性质，并说明理由；
(3)当时，在上具有性质，证明：．
【例10-4】（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数．相应地就有双曲正弦函数．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：
(1)类比关系式①②③，写出和之间的三种关系式（不需要证明）；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)设无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．