新高考数学二轮复习选题题+解答题专项练考点四 解析几何（选填题12种考向）（2份，原卷版+解析版）

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考向一 直线与圆
【例1-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点在圆外，则的取值范围（ ）
A．B．C．或D．或
【例1-2】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．直线恒过定点
B．若两直线与平行，则实数的值为1
C．若，，则直线不经过第二象限
D．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是
【例1-4】（2025·云南昭通·一模）直线：与圆：的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【例1-5】（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【例1-6】（2025·广东深圳·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（ ）
A．圆上有两个点到直线的距离为B．圆上有三个点到直线的距离为
C．圆上有三个点到直线的距离为D．圆上有四个点到直线的距离为
【例1-7】（24-25湖南）（多选）由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（ ）
A．线段长的最小值为
B．四边形面积的最小值为
C．的最大值是
D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为
考向二 轨迹方程
【例2-1】（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2024·湖南）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
考向三 曲线的定义及其应用
【例3-1】（2025安徽）（多选）已知曲线E：，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则E为椭圆B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则
C．若E为双曲线，则D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线
【例3-2】（2025·四川·二模）双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（ ）
A．1B．1或9C．9D．3
【例3-3】（2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【例3-4】（2025·广东惠州·模拟预测）（多选）已知，分别为双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为16
D．若，则的周长为23
【例3-5】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为 .
【例3-6】（2025·福建漳州·模拟预测）已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
【例3-7】（2025·广东·一模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为
【例3-8】（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 .
考向四 曲线方程
【例5-1】（2024湖北）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【例5-3】（2024天津）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例5-4】（2024·河北石家庄·二模）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为 .
考向五 离心率
【例5-1】（2025·福建·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【例5-2】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例5-3】（2025·甘肃）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例5-4】（2025河南）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例5-5】（2025·陕西·一模）已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例5-6】（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆的右焦点为为上两个不同的点，（为坐标原点），，则的离心率为 ．
考向六 直线与曲线的位置关系
【例6-1】（2024湖北）直线l：与椭圆C：的位置关系是
【例6-2】（2024·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ．
【例6-3】（2025·福建·模拟预测）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为 .
【例6-4】（2025·陕西榆林·二模）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是
【例6-5】（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
【例6-6】（2025·湖南）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有 条
考向七 弦长、中点弦、焦点弦
【例7-1】（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】（2025·广东·一模）已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（ ）
A．12B．11C．10D．9

【例7-3】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【例7-4】（2024·广东湛江·一模）（多选）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．若以线段AB为直径的圆过点F，则
C．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则
D．若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切
考向八 点差法
【例8-1】（2024·四川）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例8-2】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例8-3】（2024·广东肇庆·一模）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【例8-4】（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例8-5】（2025·河南）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
【例8-6】（2024·陕西）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考向九 实际应用
【例9-1】（2025·福建·模拟预测）著名天文学家开普勒发现：地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳为该椭圆的一个焦点．我们将地球在该椭圆轨道上距离太阳最近和最远的位置分别称为近日点和远日点．已知近日点到太阳的距离约为，远日点到太阳的距离约为，则该椭圆的焦距约为（ ）
A．B．C．D．
【例9-2】（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例9-3】（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．2
【例9-4】（2024高三下·全国·阶段练习）北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【例9-5】（2023·江苏苏州·三模）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2πB．3πC．2πD．4π
考向十 解析几何中的面积问题
【例10-1】（2025·福建厦门·一模）过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．1
【例10-2】（2025·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【例10-3】（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例10-4】（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线，直线l经过点且与C交于A，B两点，O为坐标原点，面积的最小值为，则 ．
【例10-5】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍.
【例10-6】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是 ；的面积的取值范围是 ．
考向十一 蒙日圆与阿氏圆
【例11-1】（23-24河南）如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【例11-2】（2023·海南·模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ）
A．2B．4C．5D．8
【例11-3】（24-25浙江）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．5
【例11-4】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【例11-5】（2025福建）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆C上的动点M作椭圆的两条切线，分别与圆C交于P，Q两点，直线交椭圆于A，B两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．M到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线的斜率分别记为，则
考向十二 新定义
【例12-1】（2025·山东潍坊·模拟预测）（多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等．已知卵形线C：，则（ ）
A．C关于直线对称
B．C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个
C．C上存在点P，使得P到点的距离小于1
D．C围成区域的面积大于4
【例12-2】（2024·广东江苏·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A．B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点在C上时，
【例12-3】（2025·云南昆明·一模）（多选）“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线，其形态极像“四叶草”，设为坐标原点，为上异于原点的一点，过点作直线的垂线交坐标轴于，两点，则（ ）
A．有4条对称轴B．围成的面积大于
C．D．的面积最大值为4
单选题
1．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，点、分别在的两条渐近线上，若四边形（为坐标原点）为正方形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点P，Q在的准线上且关于轴对称，，线段与分别相交于点，且，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
4（2025·辽宁·模拟预测）已知为双曲线的右顶点，为上一点，关于轴的对称点为，，，的面积为，则的焦距为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三下·湖北·开学考试）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
6．（2025·广东佛山·模拟预测）已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
7．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，其左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于，两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A．B．2C．D．
9．（2025·山西·一模）已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10（2025·四川德阳·二模）已知在平面直角坐标系中，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
多选题
13．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）关于双曲线，下列说法正确的有（ ）
A．实轴长为16B．焦点坐标为，
C．离心率为D．渐近线方程为
14．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则（ ）
A．
B．取中点，直线的斜率与直线的斜率之积为
C．以为直径的圆与轴相切
D．若，，则
15．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则（ ）
A．B．的面积为
C．的离心率为D．直线AB的斜率为
16（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A．
B．
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当时，的面积为
17．（23-24 新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．椭圆上存在点，使得
C．是椭圆上一点，若，则
D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率
18．（2025·广东深圳·模拟预测）已知点，，点在圆：上运动，则（ ）
A．直线与圆相离B．的面积的最小值为
C．的最大值为D．当最小时，
19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
20．（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的轨迹方程为（）
B．的最大值为3
C．的最小值为
D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8
21（2024福建）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
22．（2023·湖南邵阳·一模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日最先发现，已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率为B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为D．长方形R的面积的最大值为
填空题
23．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为 .
24．（2025·浙江温州·模拟预测）已知P为椭圆上一点，分别为椭圆的左，右焦点，直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若，则椭圆的离心率等于 ．
25（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时， .
26．（2025·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ．