新高考数学二轮复习选题题+解答题专项练专题四 解析几何（解答题13种考向）（2份，原卷版+解析版）

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考向一 基础题
【例1-1】（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程．
【例1-2】（2025·海南·三模）已知双曲线的焦距为，过点的直线与交于两点，且当轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点都在的左支上，且以为直径的圆与轴相切，求的斜率．
【例1-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点.
①求k的取值范围；
②若，求的面积.
【例1-4】（2025·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的值.
考向二 定点
【例2-1】（2025·山西吕梁·一模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【例2-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点.
【例2-3】（2025·吉林长春·二模）如图，矩形中，分别是矩形四条边的中点，设，其中，直线和的交点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；
(2)设，过点的动直线与椭圆交于两点，直线分别交圆于两点，设直线的斜率分别为．
①求证：为定值；
②直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【例2-4】（2025·福建）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.
考向三 定值
【例3-1】（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)已知，证明：点到直线的距离为定值．
【例3-2】（2025·新疆·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点为，点在上，点与点关于轴对称．
(1)求的方程；
(2)设点为上异于的任意一点，直线与轴分别交于点，判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【例3-3】（2025·山东菏泽·一模）已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M.
①求证：Q、R两点关于原点O对称；
②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围.
考向四 定直线
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【例4-2】（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点.
（i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
（ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上.
【例4-3】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：点在定直线上；
(3)记的面积分别为，若，求直线的方程.
考向五 最值
【例5-1】（2025·山东青岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，.
(1)求的方程;
(2)若直线与的另一个交点为，求面积的最小值.
【例5-2】（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线C的顶点为，焦点为
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：于M、N两点，求的最小值.
【例5-3】（2025·山东烟台·一模）已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为.
（i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值.
【例5-4】（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程；
(3)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值.
【例5-5】（2025·辽宁·二模）一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D.
(1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程
(2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
(3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值.
考向六 共线、共圆
【例6-1】（2025·山西临汾·一模）已知点在椭圆上，直线与交于，两点，直线，的斜率之和为0，点关于轴的对称点为，线段的中点为.
(1)证明：，，三点共线；
(2)求面积的最大值.
【例6-2】（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.
①证明：三点共线；
②当直线与有两个交点时，求的取值范围.
【例6-3】（2025·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长为4，离心率为，直线交于两点.
(1)求的方程；
(2)若直线过的右焦点，当面积最大时，求；
(3)若直线不过原点，为线段的中点，直线与交于两点，已知四点共圆，证明：.
【例6-4】（2025·陕西西安·二模）已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轴交于点，证明：四点共圆.
考向七 长度比值
【例7-1】（2025·重庆·一模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，在轴上方，，均垂直于的准线，垂足分别为，．
(1)当时，求直线的方程；
(2)已知为坐标原点，证明：．
【例7-2】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于另一点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点在椭圆上，过向直线引垂线交于点，若，求直线的方程.
【例7-3】（2025·广东江门·一模）已知椭圆的焦距为，以椭圆短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点的直线分别交椭圆于点，点始终在第一象限且与点关于轴对称，直线分别交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点的坐标；
(3)证明：．
【例7-4】（2025·云南·校联考三模）如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为，离心率为，直线和相交于点，过作直线交轴的正半轴于点，交椭圆于点，连接交于点.

(1)求的方程；
(2)求证：.
考向八 角度转化
【例8-1】（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点到的距离比到直线的距离小1，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点的坐标为，过点作曲线的切线，切点为（在第一象限），若过点的直线与曲线交于M，N两点，证明：．
【例8-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交于，两点，分别过点作的垂线，交分别于两点（异于两点）.当的斜率不存在时，四边形的面积为6.
(1)求的标准方程；
(2)证明：.
【例8-3】（2025·山东济宁·一模）已知椭圆的离心率为分别为的左．右顶点，为的上顶点，且．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于两点，设直线与交于点．
①证明：点在定直线上；
②求的最大值．
【例8-4】（2025·山东泰安·一模）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点.
（i）设的面积分别为，若，求的最大值；
（ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程.
【例8-5】（2025·北京延庆·一模）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
考向九 轨迹
【例9-1】（2024湖南长沙）已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；
(2)若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
【例9-2】（2025·广东湛江·一模）已知抛物线的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线，，交于点P．点O为坐标原点，当为正三角形时，其面积为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线的距离的最小值．
【例9-3】（2025·山东聊城·一模）已知圆，圆，动圆与、都外切.
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)设，、是圆心轨迹上的不同两点，过点作，垂足为，若直线与的斜率之积等于，求动点轨迹的长度.
【例9-4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点的直线交双曲线于两点，曲线的左右顶点分别为，虚轴长与实轴长的比值为．

(1)求曲线的方程；
(2)如图，点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的轨迹方程．
考向十 存在性
【例10-1】（2025·广东深圳·一模）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【例10-2】（2025·福建莆田·二模）已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【例10-3】（2025·江西赣州·一模）已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由.
考向十一 三角形的四心与形状
【例11-1】（2025·云南昆明·一模）椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，，设直线的斜率为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上一点，且为的重心，求.
【例11-2】（2025·广东·一模）已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．
(1)当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程；
(2)当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
【例11-3】（2025·广东佛山·一模）已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若正三角形的三个顶点都在上，且直线的倾斜角为，求．
【例11-4】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值；
(3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围．
【例11-5 】（2025·江西九江·一模）已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
考向十二 多个专题综合
【例12-1】（2025·辽宁·模拟预测）抛物线的焦点为，为上一点，的纵坐标为，点在轴上，轴，线段的中点为，且轴．
(1)求的方程；
(2)已知为上三个不同的点，点在第一象限．
（ⅰ）若点在原点，，，点的横坐标满足，求．
（ⅱ）在中，内角所对的边分别为，且满足，，的重心在轴上，求点的坐标．
【例12-2】（2025·陕西咸阳·一模）已知圆，圆．若动圆M与圆外切，与圆内切，动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若P为直线与x轴的交点，Q为直线上的另外一点，直线l过且与曲线C交于A，B两点，求证：
①；
②直线，，的斜率成等差数列．
【例12-3】（2025·云南大理·模拟预测）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；
(3)求的面积.
【例12-4】（2025·吉林·二模）已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且.
(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)求的面积；
(3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【例12-5】（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点其中点A在x轴上方连接，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后A，B在新图形中对应点记为，.
(1)当时，
①求三棱锥的外接球的表面积；
②求三棱锥的体积；
(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
考向十三 新定义
【例13-1】（2025·江西萍乡·一模）如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
(1)求“等差椭圆”的离心率；
(2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.
（ⅰ）求与和都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.
【例13-2】（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆.
(1)试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设点，记的面积为，证明：.
【例13-3】（2025·陕西榆林·二模）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，，，，证明：；
(3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，由可先找到该方程的初始解，记此解对应的点为，进一步可得点，，，，.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，，，，，，，记，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.