新高考数学二轮复习专题突破训练专题03 三角函数与解三角形（2份，原卷版+解析版）

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题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+2（解答题）
时间：90分钟
一、单选题
1．（2020·吉林市教育学院高三期中（理））下图是中国古代数学家赵爽设计的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·黑龙江大庆实验中学月考（理））大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1B．C．iD．
3．（2020·湖南怀化·月考）已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于5，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·海南高三一模）希波克拉底发现了平面几何里应用广泛的月牙定理，即以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙型面积之和等于该直角三角形的面积.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（ ）

A．B．C．D．
5．（2020·全国高三专题练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米
6．（2020·北京北大附中高三其他模拟）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·河南月考（理））魏晋南北期时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约为，和真正的值相比，误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ）
A．B．C．8D．16
8．（湖北省华大新高考联盟2020届高三下学期4月教学质量测评数学（文）试题）制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为毫米，乙小组制作的晶圆厚度为毫米，丙小组制作的晶圆厚度为毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（ ）
A．甲小组和丙小组B．丙小组和乙小组C．乙小组和丙小组D．丙小组和甲小组
二、多选题
9．（2020·江阴市山观高级中学高一月考）在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”；对于正余弦函数，以下性质中正确的是（ ）
A．函数关于对称B．函数关于对称
C．函数在单调递增D．函数值域为
10．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
11．（2021·全国高三专题练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数在上是减函数
B．若，则
C．函数，则的最大值
D．
12．（2020·广东深圳·高二月考）emji（中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所使用的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今emji表情已经风靡全球，大有“无emji，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线勾勒脸庞，用曲线，近似两只眼睛．下列四个函数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（ ）

A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2020·湖北武汉·高二期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，为的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是________________.
14．（2021·安徽高一期中）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处外都能见到5G基站的身影．如图，某同学正西方向山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离）．该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站顶端的仰角为，该同学向南走米后到达处，此时测得基站顶端的仰角为，则山高___________米．
15．（2021·浙江高一期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，
其中．
这些公式可以利用多项式来逼近原函数，在近似计算上又独特的优势．比如，利用前三项计算，就得到，那么，利用前三项计算可以得到它的近似值为______（保留分数）．
16．（2020·陕西安康·月考（理））如图，矩形中，，以为圆心、为半径在矩形内部作弧，点是弧上一动点，，垂足为，垂足为，则四边形的周长的最小值为_______．
四、解答题
17．（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）第十届中国花博会于2021年5月21日在崇明举办，其标志建筑——世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板只有250毫米，相当于一张2米长的桌子，其桌面板的厚度不到2毫米.
图1为馆建成后的世纪馆图：图2是建设中的世纪馆；图3是场馆的简化图.
如（图3）是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，，其中米；圆心距米：半径米：椭圆中心与圆心的距离米，、为直线与半圆的交点，.
（1）设，计算的值；
（2）计算的大小（精确到1°）.
18．（2021·上海徐汇区·高三二模）元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C两点距离）的绳子两头分别拴住A、C；B、D，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设∠PAC＝θ，所有绳子总长为y米．（打结处的绳长忽略不计）
（1）将y表示成θ的函数，并指出定义域；
（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）