新高考数学二轮复习考法分类训练专题06 三角函数与解三角形（选填题9种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考法一 三角函数的定义
【例1-1】（2023·广东梅州·统考一模）在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转 得到点，点的横坐标为___________.
【答案】
【解析】由题意得,
设与x轴正半轴的夹角为，则，则与x轴正半轴的夹角为，
故点的横坐标为 ，故答案为：
【例1-2】（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则______．
【答案】
【解析】由三角函数的定义可得，
故答案为：.
【例1-3】（2023·上海黄浦·统考一模）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______.
【答案】
【解析】由题意知，，所以.
故答案为：.
【例1-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知为角终边上一点，则，
故，故，故选：A
【例1-5】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：，，，
因为，所以，因为，所以，故，
所以.故选：B
考法二 同角三角函数
【例2-1】（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为可得：当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.
【例2-2】（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．
【例2-3】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由①得，即，
因为，所以，，
则，即②，
联立①②可得：，则.故选：C
【例2-4】（2023·湖南·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，得，
得，可得，，，，
又，得，解得.故选：A
考法三 诱导公式及恒等变化
【例3-1】（2021·全国·统考高考真题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，.故选：D.
【例3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】因为，
所以.故选：C.
【例3-3】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）设为第一象限角,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由题意得,则,
若在第四象限,则,所以也是第一象限角,即,,A项错误;
,B项正确;
,C项错误;
,D项正确.故选:BD.
【例3-4】（2023·福建南平）若是第二象限角，，则___________.
【答案】
【解析】因为是第二象限角，且，所以为第三象限角，所以，
所以.
故答案为：
【例3-5】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若锐角、满足，，则_________．
【答案】
【解析】因为，，则，，
由、，则，，
所以，，，
所以
.故答案为：.
【例3-6】（2023·广东梅州·统考一模）已知，则
【答案】
【解析】由可得，，
由二倍角公式可得；即故选：A
考法四 三角函数的性质
【例4-1】（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．故选：A．
【例4-2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】根据函数（其中，的图象，可得，，
再根据五点法作图，可得，，．
故把图象向右平移个单位长度，可得到的图象，
故选：D．
【例4-3】（2023·贵州贵阳·统考一模）函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
①的图象关于直线对称
②的图象关于点对称
③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
④若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A．①④B．②④C．③④D．②③
【答案】B
【解析】由函数的图象可得，由，解得，
又函数过点，所以，，
又，得，所以函数，
当时，，即的图象关于点对称，故②正确；
当时，，故①错误；
将函数的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；
当，则，
令，解得，此时，即，
令，解得，此时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交点，
所以，故④正确；故选：B
【例4-4】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.若，且在区间上单调，则（ ）
A．B．或4C．4D．或
【答案】B
【解析】由，得函数的图象关于点中心对称；
由，得函数的图象关于直线对称，
所以，解得，
即，得.
因为在区间上单调，所以，即，
所以，解得.又，所以或.
当时，，则，得.
由，得，此时，
当时，，符合题意；
当时，，则，得.
由，得，此时，
当时，，符合题意.综上，或.故选：B.
【例4-5】（2023·辽宁·校联考模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．当时，
C．的最大值是1D．的图象关于直线对称
【答案】BCD
【解析】对于A, 不恒成立，
所以不是奇函数，故A错误；
对于B，，
当时，
所以，所以，故B正确；
对于C，令，
则，所以，
所以原函数可换元为，
令解得，
令解得或，
所以在单调递减，单调递增，单调递减，
，所以函数的最大值为，
故C正确；
对于D，，
，
因为
所以，所以的图象关于直线对称，故D正确，
故选：BCD.
【例4-6】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）（多选）已知函数，其中、.则下列说法中正确的有（ ）.
A．的最小值为 B．的最大值为
C．方程在上有三个解 D．在上单调递减
【答案】BC
【解析】，
即，其中，，.
由，即，，
所以当时，，
即，，
所以当，即时，，
当，即时， ；
当时，，
即，，
所以当，即时，，
由于，所以无最小值.
综上所述，的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
由，所以当时，，
即，
即或， ，
所以或，.
当时，，
即，
即或， ，
所以，，
综上所述，方程在上有三个解，故C正确；
取时，，
令，即；
令，即；
由于，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在上有增有减，则在上有增有减，故D错误.故选：BC.
考法五 正余弦定理
【例5-1】（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【解析】设，结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），故.故选：D.
【例5-2】（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或，故选：BD.
【例5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因为四边形ABCD内接于半径为的圆，
它的对角互补，所以，
所以,所以，
所以四边形ABCD的周长为．
故选：A．
【例5-4】（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】
【解析】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
【例5-5】（2023·河南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积等于______．
【答案】
【解析】由，①知，，由余弦定理，得．
又，所以．由及正弦定理，得②．
联立①②，得，所以的面积为．故答案为：．
【例5-6】（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．
【答案】
【解析】在中，由及正弦定理得：，而，
于是，有，
而，，因此，由余弦定理得，
即有，当且仅当时取等号，
从而，而，则，
所以周长的取值范围为.
故答案为：
【例5-7】（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意在中，满足，即,
即，而，
故，又,
则，同理，
故
，
又,故，
则，
故答案为：
考法六 实际应用题
【例6-1】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子（表）规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日子内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日子内，甲地日影长是乙地日影子长的两倍，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（ ）
A．15千里B．14千里C．13千里D．12千里
【答案】A
【解析】由题意可知甲地的日影子长为尺，从而得到乙地的日影子长为1.5尺，
则甲、乙两地之间的距离约为千里．故选：A
【例6-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设外接圆圆心为，如图，半径为，则，，
因此，中弓形面积为，
从而阴影部分面积为．
故选：A．
【例6-3】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】A
【解析】依题意，如图，在中，
，则，
由正弦定理得，即 ，因此（海里），
所以两点间的距离是 海里．
故选：A
【例6-4】（2023·河南·校联考模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题图（2）得，圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.故选：D.
考法七 三角函数与导数的综合
【例7-1】（2023·河南·校联考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，化简得，所以．
又是函数的一个极值点，所以当时，函数取得最值，所以，解得．
因为，所以．故选：A．
【例7-2】（2023·陕西榆林·统考一模）已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
因为在上恰有3个极大值点，由，得，
又函数的极大值点满足，
所以，解得.故选：C.
【例7-3】（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
【例7-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的最小值为B．在上只有一个极小值点
C．在上恰有两个极大值点D．在上单调递增
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为，当时，，
由函数在上恰有三个零点，所以，，解得，
所以，的最小值为，A错；
对于B选项，由A选项知，，
则当，即时，函数取得极小值，即在上只有一个极小值点，B对；
对于C选项，当时，函数在上只有一个极大值点，C错；
对于D选项，当时，，
因为，所以，，
所以，函数在上单调递增，D对.故选：BD.
考法八 扇形的弧长与面积
【例8-1】（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，因为是的中点，所以，
又，所以三点共线，即，
又，所以，则，故，
所以.故选：B.
【例8-2】（2023·吉林·统考二模）（多选）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即
【答案】BD
【解析】对于，由题意可知：经过1后，，
所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；
对于，经过2后，，
所以此时劣弧的长为，故选项正确；
对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；
对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，故选：.
考法九 三角函数与其他知识的综合运用
【例9-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，，所以或，
又，所以，所以，所以，故选：B.
【例9-2】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意可得 ，，
且，
所以，即，解得
又因为，所以，所以故选:A
【例9-3】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；故选：D
1．（2023·安徽宿州·统考一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，即充分性成立；
当时，可得；所以必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，又，所以，所以，即，因为，所以.故选：D.
3．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】关于直线对称，，解得：，
当时，取得最小值.故选：A.
4．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由余弦定理得：，即，
解得：（舍）或，.故选：D.
5．（2023·陕西西安·统考一模）下列是函数图像的对称轴的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
显然，，，，
所以函数图像的对称轴的是，ABC错误，D正确.故选：D
6．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,故选：A.
7．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.
8（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【解析】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
9．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.
10．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
【答案】C
【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．
11．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
12．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，所以.故选：A
13（2021·北京·统考高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，所以当时，取最大值.故选：D.
14．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.故选：B.
15．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
16．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，，，解得，
，.故选：A.
17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
当时，，
则函数的最大值为，解得.
故选：C.
18．（2023·山东潍坊·统考一模）已知角在第四象限内，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得，，所以，
所以，.
又角在第四象限内，所以.
故选：D.
19．（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，，∴，又∵在恰有2个极大值点，∴由正弦函数图象可知，，解得：.故选：B.
20．（2023·陕西西安·统考一模）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
【答案】B
【解析】依题意，，则，
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.故选：B
21．（2023·全国·模拟预测）若且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，得 ，
则，
因为 ，
因为，所以，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
所以，所以的最小值是，
故选：B
22．（2023·四川南充·校考模拟预测）若锐角满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为，
所以，，
所以
.
故选：A
23．（2023·陕西榆林·统考一模）已知，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【解析】由，解得，则.
故选：C．
24．（2023·陕西渭南·统考一模）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】变形为，
即，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，解得：，
因为，，解得：.
故选：B
25．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上有极小值
C．设在区间上的最大值为M，最小值为m，则
D．在区间内有且只有一个零点
【答案】D
【解析】因为，
所以．
当时，令，解得，则当x变化时，，的变化情况如下表所示．
所以在区间上的图象如图所示．
对A，在区间上单调递增，A错；
对B，在区间上有极大值，无极小值，B错；
对C，在区间上的最大值为，最小值为，，C错；对D，在区间内有且只有一个零点，D对.故选：D.
26．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；
由图可知，利用整体代换可得，
所以，若为已知，则可求得.
故选：B
27．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数（，）的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数的图象过点，,
，即，
又，
，
令，即，
当时，函数取最值，
在区间内不存在最值，
，解得，
当时，不存在；
当时，，又，，
当时，，
当时，不存在；
综合得的取值范围是.
故选：D.
28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，
∵在上单调递增，∴，∴，即，
∴，，，
则由得：，解得：.
当时，满足题要求.
故选：D
29．（2023·湖南·模拟预测）将函数图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若对于满足的，，都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可得，若满足，
则和必然一个为极大值点，一个为极小值点，
又，则，即，所以，所以．
故选：A．
30．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方法一：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故选：C
方法二：令，，则，，
所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以，解得.
故选：C
31（2023·陕西榆林·校考模拟预测）将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个图像的对称轴重合，则的最小值为（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】D
【解析】∵将函数的图像分别向左、向右各平移个单位长度后，
所得的两个函数图像的对称轴重合，故当最小时，
有 ，
解得：，
故选：D．
32．（2023·吉林·统考二模）近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观,某同学在与塔底水平的A处利用无人机在距离地面21的C处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面1的B处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为（ ）
A．15B．16C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可得，m，m，所以m；
设塔顶为点，作于，如下图所示：
易知，所以，
所以m，同理m，
即塔高m；
所以该塔的高度为16.
故选：B
33．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
34．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
35．（2023·广东梅州·统考一模）（多选）函数（，）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数的图像关于直线对称
C．函数在单调递减
D．函数是偶函数
【答案】AB
【解析】根据函数图象可得，即函数的最小正周期为，可得，即A正确；
又因为函数图象过，所以，
可得，又可得，所以；
将代入可得，所以为函数的一条对称轴，即B正确；
当时，，根据正弦函数单调性可得函数在上先减后增，所以C错误；
易得是奇函数，即D错误.
故选：AB
36．（2023·山东菏泽·统考一模）（多选）已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．在区间上有3个零点
B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度
C．的周期为，最大值为1
D．的值域为
【答案】BC
【解析】对于A项，由已知可得，.
因为，所以，
当或时，即或时，有，
所以在区间上有2个零点，故A项错误；
对于B项，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数，故B项正确；
对于C项，由已知可得，，
所以，的周期，最大值为，故C项正确；
对于D项，.
令，，，
则.
解，可得.
解，可得，所以在上单调递增；
解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.
且，，
，.
所以，当时，有最小值；当时，有最大值.
所以，的值域为，故D项错误.
故选：BC.
37．（2023·山东威海·统考一模）（多选）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．若为偶函数，则
【答案】AC
【解析】由图像可知A=1,,则，则，
故，且过点，则，
，因为，所以，
故，故A 正确，B错误；
，令，
在时单调递增，
则在上单调递增，故C正确；
为偶函数，则，
即，故D错误；
故选：AC.
38．（2023·安徽宿州·统考一模）（多选）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
【答案】AB
【解析】已知函数（，），
其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期, ，
点是其中一个对称中心， 有，
,，由，∴，
可以求得.最小正周期，故选项正确；
由于，所以是函数图象的一条对称轴方程，故选项正确；
时，正弦曲线的先增后减，故选项错误；
将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到，选项D错误.
故选：.
39．（2023·全国·模拟预测）（多选）下列是函数图象的对称轴方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】，
因为函数的图象的对称轴方程为，即，
所以的图象的对称轴方程为，易知BC正确．
故答案为：BC
40．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的单调递增区间为
C．函数在区间上取得最大值时
D．函数的图象关于点对称
【答案】CD
【解析】由题意得，
，
A选项：函数的最小正周期，所以A错误；
B选项：令，得，故函数的单调递增区间为，所以B错误；
C选项：当时，，则当，即时，函数取得最大值，所以C正确；
D选项：由，得，取，得，故函数的图象关于点对称，所以D正确.
故选：CD
41．（2023·安徽蚌埠·统考二模）（多选）已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像关于点中心对称
B．函数在区间上单调递减
C．不等式的解集为
D．方程在上有2个解
【答案】ACD
【解析】根据题意可得，，
又因为最小正周期为，则，且，则，
即，
又因为为奇函数，则
解得，且，
所以当时，，所以，
则，
对于A，当时，，所以点是的对称中心，故正确；
对于B，令，解得，所以不是的子集，故错误；
对于C，因为，即，
所以，解得，故正确；
对于D，分别画出与在的图像，通过图像即可得到共有两个交点，故正确.
故选:ACD
42（2023·全国·模拟预测）（多选）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若，则角可取的值用密位制表示可能是（ ）
A．10—50B．2—50C．13—50D．42—50
【答案】BD
【解析】，
，
，
，即，
或，
对于选项A：
密位制10—50对应的角的弧度制为，不符合题意，
故选项A错误；
对于选项B：
密位制2—50对应的角的弧度制为，符合题意，
故选项B正确；
对于选项C：
密位制13—50对应的角的弧度制为，不符合题意，
故选项C错误；
对于选项D：
密位制42—50对应的角的弧度制为，符合题意，
故选项D正确；
综上所述，选项BD正确，
故选：BD.
43．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）（多选）已知函数（）的最小正周期满足，且是的一个对称中心，则（ ）
A．B．的值域是
C．是的一条对称轴D．是的一个零点
【答案】BC
【解析】因为函数的最小正周期满足，且，
则，解得：，
令，，解得：，，
则函数（）的对称中心为（），
又有是的一个对称中心，
所以，，即，，
所以，所以A选项错误；
则函数，当时，，
则，所以B选项正确；
当时，，
则是函数的一条对称轴，所以C选项正确；
当时，，
则不是函数的零点，所以D选项错误；
故选：BC.
44．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数图象的一条对称轴是
C．若，则函数的最小值为
D．若，，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】在的图象上取一点，其关于点对称的点不在的图象上，所以函数的图象不关于点对称，故A不正确；
因为，所以函数图象的一条对称轴是，故B正确；
若，则，所以，故C正确；
因为，所以，所以，故D正确.
故选：BCD
45．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【答案】.
【解析】因为，所以．
故答案为：.
46．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
47．（2022·浙江·统考高考真题）若，则__________，_________．
【答案】
【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
48（2021·北京·统考高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】（满足即可）
【解析】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
49．（2021·浙江·统考高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.
【答案】25
【解析】由题意可得，大正方形的边长为：，
则其面积为：，
小正方形的面积：，
从而.
故答案为：25.
50．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【解析】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
51．（2021·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【解析】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
52．（2023·山东菏泽·统考一模）设均为非零实数，且满足，则__________.
【答案】1
【解析】由题意可得，，
令，则，
即，
所以，即
故
故答案为:
53．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知是第二象限角，且，则______．
【答案】
【解析】是第二象限角，，
，，
.
故答案为：.
54．（2023·贵州贵阳·统考一模）赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼成，现连接，当正方形的边长为1且其面积与正方形的面积之比为1∶5时，___________.
【答案】.
【解析】由题意得，，故直角三角形斜边为，
设直角三角形中较短直角边长为，如图中，则较长直角边长为，
如图中,
则由勾股定理可得，解得，
，
，,
.
故答案为：.
55．（2023·山西临汾·统考一模）已知，则__________.
【答案】
【解析】∵，，
∴，解得：.
故答案为：.
56．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数是奇函数，则____.
【答案】
【解析】，
因为函数是奇函数，
所以，解得，
因为，
所以，
故答案为：
57．（2023·贵州毕节·统考一模）已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】当时，则，则，
要使在区间上恰有两个零点，
则，解得，
即的取值范围是，
故答案为：．
58．（2023·全国·模拟预测）已知是的最小正周期，若，是的一个极大值点，则当取得最小值时，______．
【答案】
【解析】由题意可知，，则，
由得，，
所以，
又因为，
所以，
由是的一个极大值点得，，，
所以，，
又因为，
所以的最小值为1，
此时，
故.
故答案为：.
59．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为______．
【答案】
【解析】，
，的图象关于直线对称，
若函数有且只有一个零点，即的图象与轴有且只有一个交点，
则只能是，即，解得，
此时，
，当且仅当,即时取等号,
当时,，
又，
，
当时,，
当时，函数有且只有一个零点.
故答案为：.
60．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意在中，满足，即,
即，而，
故，又,
则，同理，
故
，
又,故，
则，
故答案为：x
－
0
＋
0
－
单调递减
单调递增
单调递减