2027届高三数学(人教A版)一轮复习课件：第3章　素能培优(2)　在导数应用中如何构造函数(含解析)

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函数构造问题是高考考查的热点,多以客观题形式呈现.此类问题的核心在于:基于与导数相关的已知等式或不等式的结构特征,构造出新函数,并对其单调性进行分析,从而有效解决比较大小、解不等式、恒成立等各类问题.
题型一　利用f(x)与xn构造函数
例1　(1)(2025·天津西青模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a
解析 令g(x)=xf(x),当x20=1=ln e>ln 2>ln 1=0,所以g()>g(20.2)>g(ln 2),即c>a>b.故选B.
(2)(2025·湖南常德模拟)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上的连续可导函数,其导函数为y=f'(x),若xf'(x)2ln x的解集为(　　)A.(1,3)B.(3,e2)C.(1,e3)D.(e,e3)
[对点训练1](2025·贵州毕节二模)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,f'(x)是f(x)的导函数,f(1)=0,当x1,f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为(　　)A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,1)
解析 设g(x)=exf(x)-ex(x∈R),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1].因为f(x)+f'(x)>1,所以f(x)+f'(x)-1>0,又ex>0,所以g'(x)>0恒成立,所以y=g(x)是定义域为R的增函数,原不等式可转化为exf(x)-ex>2e,又f(1)=3,所以g(1)=ef(1)-e=2e,所以有g(x)>g(1),所以x>1,故不等式exf(x)>ex+2e的解集为(1,+∞).故选B.
题型三　利用f(x)与sin x,cs x构造函数
题型四　构造具体函数关系
例4　(1)(2025·山东烟台模拟)设2a=6-ln 3,40.5b=2e-1,c=lg2(4-ln 2),则下列选项正确的是(　　)A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a
规律方法　构造函数比较大小的常见类型(1)构造相同的函数,利用单调性,比较函数值的大小.(2)构造不同的函数,通过比较两个函数的函数值进行大小比较.