2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第三章一元函数的导数及其应用3.4函数中的构造问题课件

这是一份2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第三章一元函数的导数及其应用3.4函数中的构造问题课件，共54页。PPT课件主要包含了题型一，导数型构造函数，思维升华，3＋∞，题型二，同构法构造函数，∵αβ均为锐角，课时精练，－∞ln2等内容，欢迎下载使用。

函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
命题点1　利用f(x)与x构造
A.(－2,0)∪(0,2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2,0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0,2)
∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且为奇函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增，∵f(－2)＝f(2)＝0，当x>0时，F(2)＝0，若使不等式F(x)>0成立，则x>2；当x<0时，F(－2)＝0，若使不等式F(x)>0成立，则－2(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ .
跟踪训练1　(2023·苏州模拟)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝ ，则a，b，c的大小关系是A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.c>a>b
因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，
命题点2　利用f(x)与ex构造例2　(2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)f(2 023)
因为f(x)0，所以g′(x)>0，g(x)在R上单调递增，
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ .
跟踪训练2　(2023·苏州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为___________.
设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).
命题点3　利用f(x)与sin x，cs x构造
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
F(x)＝f(x)cs x，
F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
设φ(x)＝f(x)sin x，则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x，∴当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数，
例4　(1)设m>0，n>0，若ln m－en－1＝ln n－em，其中e是自然对数的底数，则A.m>n B.m因为ln m－en－1＝ln n－em，所以ln m＋em－1＝ln n＋en，令f(x)＝ln x＋ex，因为y＝ln x，y＝ex均为(0，＋∞)上的增函数，故f(x)＝ln x＋ex为(0，＋∞)上的增函数，由ln m＋em－1＝ln n＋en可得ln m＋em>ln n＋en，故m>n.
(2)(2022·南京检测)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeae B.b>eaC.ab由已知aea0，则bln b>0，则b>1.当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数.
跟踪训练4　(1)(2023·连云港模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－ >sin β－cs α，则A.sin α>sin β B.cs α>cs βC.cs α>sin β D.sin α>cs β
则f′(x)＝1－cs x>0，
∴cs βcs α.
(2)(多选)(2023·福州模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值可能是
由题意得，eλx·λx≥xln x＝eln x·ln x，令f(t)＝t·et，t∈(0，＋∞)，则f′(t)＝(t＋1)·et>0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，又f(λx)≥f(ln x)，即当x∈(1，＋∞)时，λx≥ln x，
所以在(1，e)上g′(x)>0，则g(x)单调递增；在(e，＋∞)上g′(x)<0，则g(x)单调递减，
A.a则有f(3)2.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是函数f(x)的导函数，且∀x∈R，f′(x)>1，f(1)＝0，则A.f(e)>e－1 B.f(0)>－1C.f(0)<－1 D.f(e)因为f′(x)是函数f(x)的导函数，且∀x∈R，f′(x)>1，故令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1>0，所以g(x)在R上单调递增，由g(e)>g(1)得f(e)－e>f(1)－1＝－1，所以f(e)>e－1，故A正确；由g(0)g(0)得f(e)－e>f(0)，所以f(e)>f(0)＋e，故D不正确.
3.若2x－2y<3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t为R上的增函数，y＝3－t为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x0，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，则A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定.
4.已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x).若x1 f(x1)B. f(x2)< f(x1)C. f(x2)＝ f(x1)D. f(x2)与 f(x1)的大小关系不确定
因为f′(x)>f(x)，所以f′(x)－f(x)>0，
所以函数F(x)在R上单调递增，
又x1所以 f(x2)> f(x1).
由题意可知，a－1＝ln a－ln 1，b－e＝ln b－ln e，c－π＝ln c－ln π，所以a－ln a＝1－ln 1，b－ln b＝e－ln e，c－ln c＝π－ln π.令f(x)＝x－ln x，则f(a)＝f(1)，f(b)＝f(e)，f(c)＝f(π).
因为16.(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cs x>0，则下列说法正确的是
令g(x)＝f(x)sin x，因为f(x)为奇函数，则g(x)为偶函数，g′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x，又x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cs x>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
7.(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023ex的解集为
因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，
所以F(x)>F(0)，解得x<0.
由题意得lg2m＋2m＝2n＋1＋n，lg2m＋2m＝2×2n＋n＝lg22n＋2×2n，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，
9.(2023·深圳质检)已知定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)为f(x)的导函数，且f(2)＝2，则f(ex)－ex≥0的解集是_____________.
因为定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，
故ex≤2，则x≤ln 2，所以f(ex)－ex≥0的解集是(－∞，ln 2].
10.已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为______.
∵xa＝　 ＝ealn x，∴不等式即为ex－x≤ealn x－aln x，∵a>0且x>1，∴aln x>0，设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0；∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，