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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用素能培优三在导数应用中如何构造函数课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用素能培优三在导数应用中如何构造函数课件新人教A版，共28页。PPT课件主要包含了具体函数的构造，抽象函数的构造等内容，欢迎下载使用。
近几年高考数学客观题压轴题,多考查以导数为工具来解决大小比较、解不等式、求参数范围等问题,这类试题具有结构独特、综合性强、技巧性高等特点,而构造函数是解决这类问题的基本方法,以下介绍在导数应用中构造函数的一些技巧与规律.
1.结构相同时构造函数根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究该函数的性质从而解决问题.
A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b
f'(x)<0,则x>e,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,又e<3<π,所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b.故选D.
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a
2.结构不同时构造函数当所要比较大小的数或式在形式或结构上不相同时,可根据导数中常用的不等式构造函数,结合放缩解决问题.常用的不等式有:(1)ex≥x+1;(2)ln x≤x-1;(3)sin x≤x(其中x≥0)等.
例2(2024·陕西商洛模拟)若a=e0.2,b=1.2,c=ln 3.2,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c
解析 令f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)min=f(0)=0,由此可得ex≥x+1(当且仅当x=0时,等号成立),从而e0.2>1.2;又因为e1.2=e·e0.2>e(1+0.2)>3.24>3.2,所以1.2>ln 3.2,故a>b>c.故选A.
A.a
解析 令函数f(x)=x-sin x,x>0,则f'(x)=1-cs x≥0且不恒为0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,则f(0.9)=0.9-sin 0.9>0,于是0.9>sin 0.9,
A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a
1.利用f(x)与x(xn)构造
例4(2024·福建福州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=2,则f(ex)> 的解集为( )A.(0,+∞)B.(ln 2,+∞)C.(1,+∞)D.(0,1)
解析 设g(x)=xf(x),则g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故g(x)在R上单调递增,而f(ex)> 可化为exf(ex)>2=1×f(1),即g(ex)>g(1),故ex>1,即x>0,所以不等式f(ex)> 的解集为(0,+∞).
[对点训练4](2024·广东佛山质检)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,且f(2)=2,则f(ex)-ex>0的解集为( )A.(-∞,ln 2)B.(0,ln 2)C.(ln 2,+∞)D.(ln 2,2)
例5(2024·天津南开中学模拟)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,若对任意的x∈(0,+∞),都有2f(x)+xf'(x)>0成立,且f(2)= ,则不等式f(x)- >0的解集为( )A.(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)C.(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)
解析 令g(x)=x2f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,即f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)=x2f(x)是奇函数.又当x>0时,g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增.
[对点训练5](2024·辽宁大连模拟)f(x)在(0,+∞)上的导函数为f'(x),xf'(x)>2f(x),则下列不等式成立的是( )A.2 0212f(2 022)>2 0222f(2 021)B.2 0212f(2 022)<2 0222f(2 021)C.2 021f(2 022)>2 022f(2 021)D.2 021f(2 022)<2 022f(2 021)
2.利用f(x)与ex(或enx)构造
解析 因为f'(x)<-f(x),所以f'(x)+f(x)<0,令g(x)=exf(x),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,即g(x)在R上单调递减.
[对点训练6]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论一定正确的是( )A.e2f(2)>e3f(3)B.e2f(2)e2f(3)D.e3f(2)
例7(2024·安徽六安模拟)已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),对∀x∈R,f'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2 023)-e2x+4 042f(2)<0(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A.(-2 021,+∞)B.(-2 025,+∞)C.(-∞,-2 021)D.(-∞,-2 025)
[对点训练7](2024·湖北武汉模拟)设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若3f(x)+f'(x)>0,f(1)=1,则不等式f(x)>e3-3x的解集是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,1)
解析 令g(x)=e3x-3f(x),则g'(x)=3e3x-3f(x)+e3x-3f'(x)=e3x-3[3f(x)+f'(x)],因为3f(x)+f'(x)>0,所以3e3x-3f(x)+e3x-3f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)=e3x-3f(x)在R上单调递增,而f(x)>e3-3x可化为e3x-3f(x)>1,又g(1)=e3-3f(1)=1,即g(x)>g(1),解得x>1,所以不等式f(x)>e3-3x的解集是(1,+∞),故选B.
3.利用f(x)与sin x,cs x构造
近几年高考数学客观题压轴题,多考查以导数为工具来解决大小比较、解不等式、求参数范围等问题,这类试题具有结构独特、综合性强、技巧性高等特点,而构造函数是解决这类问题的基本方法,以下介绍在导数应用中构造函数的一些技巧与规律.
1.结构相同时构造函数根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究该函数的性质从而解决问题.
A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b
f'(x)<0,则x>e,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,又e<3<π,所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b.故选D.
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a
2.结构不同时构造函数当所要比较大小的数或式在形式或结构上不相同时,可根据导数中常用的不等式构造函数,结合放缩解决问题.常用的不等式有:(1)ex≥x+1;(2)ln x≤x-1;(3)sin x≤x(其中x≥0)等.
例2(2024·陕西商洛模拟)若a=e0.2,b=1.2,c=ln 3.2,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c
解析 令f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)min=f(0)=0,由此可得ex≥x+1(当且仅当x=0时,等号成立),从而e0.2>1.2;又因为e1.2=e·e0.2>e(1+0.2)>3.24>3.2,所以1.2>ln 3.2,故a>b>c.故选A.
A.a
解析 令函数f(x)=x-sin x,x>0,则f'(x)=1-cs x≥0且不恒为0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,则f(0.9)=0.9-sin 0.9>0,于是0.9>sin 0.9,
A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a
1.利用f(x)与x(xn)构造
例4(2024·福建福州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=2,则f(ex)> 的解集为( )A.(0,+∞)B.(ln 2,+∞)C.(1,+∞)D.(0,1)
解析 设g(x)=xf(x),则g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故g(x)在R上单调递增,而f(ex)> 可化为exf(ex)>2=1×f(1),即g(ex)>g(1),故ex>1,即x>0,所以不等式f(ex)> 的解集为(0,+∞).
[对点训练4](2024·广东佛山质检)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,且f(2)=2,则f(ex)-ex>0的解集为( )A.(-∞,ln 2)B.(0,ln 2)C.(ln 2,+∞)D.(ln 2,2)
例5(2024·天津南开中学模拟)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,若对任意的x∈(0,+∞),都有2f(x)+xf'(x)>0成立,且f(2)= ,则不等式f(x)- >0的解集为( )A.(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)C.(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)
解析 令g(x)=x2f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,即f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)=x2f(x)是奇函数.又当x>0时,g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增.
[对点训练5](2024·辽宁大连模拟)f(x)在(0,+∞)上的导函数为f'(x),xf'(x)>2f(x),则下列不等式成立的是( )A.2 0212f(2 022)>2 0222f(2 021)B.2 0212f(2 022)<2 0222f(2 021)C.2 021f(2 022)>2 022f(2 021)D.2 021f(2 022)<2 022f(2 021)
2.利用f(x)与ex(或enx)构造
解析 因为f'(x)<-f(x),所以f'(x)+f(x)<0,令g(x)=exf(x),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,即g(x)在R上单调递减.
[对点训练6]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论一定正确的是( )A.e2f(2)>e3f(3)B.e2f(2)
例7(2024·安徽六安模拟)已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),对∀x∈R,f'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2 023)-e2x+4 042f(2)<0(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A.(-2 021,+∞)B.(-2 025,+∞)C.(-∞,-2 021)D.(-∞,-2 025)
[对点训练7](2024·湖北武汉模拟)设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若3f(x)+f'(x)>0,f(1)=1,则不等式f(x)>e3-3x的解集是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,1)
解析 令g(x)=e3x-3f(x),则g'(x)=3e3x-3f(x)+e3x-3f'(x)=e3x-3[3f(x)+f'(x)],因为3f(x)+f'(x)>0,所以3e3x-3f(x)+e3x-3f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)=e3x-3f(x)在R上单调递增,而f(x)>e3-3x可化为e3x-3f(x)>1,又g(1)=e3-3f(1)=1,即g(x)>g(1),解得x>1,所以不等式f(x)>e3-3x的解集是(1,+∞),故选B.
3.利用f(x)与sin x,cs x构造
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