2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第四章　一元函数的导数及其应用 解题技巧(三) 在导数应用中如何构造函数（课件）

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在导数应用中如何构造函数近几年高考数学客观题压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题的基本方法,以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结,并举例说明.
一、具体函数的构造根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究该函数的性质从而解决问题.
A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c
A.b二、抽象函数的构造1.利用f(x)与x(xn)构造
①对于xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);②对于xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)= ;③对于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x);④对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)= .
例2.(2021辽宁锦州高三模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,若f(2)=0,则不等式xf(x)>0的解集为(　　)A.{x|-22}C.{x|-22}D.{x|x<-2,或0答案 D解析 令F(x)=xf(x),则F(x)为奇函数,且当x<0时,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即函数F(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,又因为f(2)=0,则F(-2)=F(2)=0,则xf(x)>0可化为F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),则x<-2或0对点训练2(2021广东河源高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f'(x),对于任意的正实数x,都有xf'(x)+2f(x)>0恒成立,且f( )=1,则使不等式x2f(x)<2成立的x的取值范围为(　　)
解析 设F(x)=x2f(x),F'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x(xf'(x)+2f(x)),因为当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,所以F'(x)>0,因此F(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为
例3.(2021湖南岳阳高三期中)设f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,则(　　)A.4f(2)>f(1)B.4f(1)>f(2)C.4f(2)对点训练3(2021重庆万州高三月考)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足f(x)>0,xf'(x)-f(x)<0,则对任意正数a,b,若a>b,则必有(　　)A.af(b)2.利用f(x)与ex(或enx)构造
①对于f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x);②对于f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)= ;③对于f'(x)+2f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e2xf(x);④对于f'(x)-2f(x)>0(或<0),构造函数F(x)= .
例4.(2021辽宁大连高三月考)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是(　　)A.e2f(2)>e3f(3)B.e2f(2)g(3),即e2f(2)>e3f(3),故选A.
对点训练4(2021山东潍坊高三质检)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f'(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3的解集为(　　)A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(3,+∞)
答案 A　解析 将f(x)+f'(x)>1两边同乘ex得,exf(x)+exf'(x)-ex>0,令g(x)=exf(x)-ex,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex>0,所以函数g(x)在R上单调递增,且g(0)=f(0)-1=3.又因为不等式exf(x)>ex+3等价于exf(x)-ex>3,即g(x)>g(0),所以x>0,故选A.
例5.(2021广东汕头高三三模)若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的解集为　　　　　　　. 答案 {x|x>0}
对点训练5(2021安徽六安高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),若对于任意实数x,有f(x)>f'(x),且f(0)=1,则不等式f(x)3.利用f(x)与sin x,cs x构造由于sin x,cs x的导函数存在一定的特殊性,且它们之间可以相互转化,所以在构造函数时要充分考虑这一点,具体有以下情形:①对于f'(x)sin x+f(x)cs x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)sin x;
②对于f'(x)sin x-f(x)cs x>0(或<0),构造函数F(x)= ;③对于f'(x)cs x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)= ;④对于f'(x)cs x-f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cs x.
例7.(2021福建泉州高三期末)已知奇函数f(x)的定义域为(-π,0)∪(0,π),其导函数是f'(x).当0对点训练7(2021河北邢台高三期中)已知函数f(x)的定义域为(0,π),其导函数是f'(x).若f'(x)sin x-f(x)cs x>0恒成立,则关于x的不等式f(x)<2f sin x的解集为　　　　.