2027届高三数学(人教A版)一轮复习课件：第3章　第3节　利用导数研究函数的极值、最值(含解析)

这是一份2027届高三数学(人教A版)一轮复习课件：第3章　第3节　利用导数研究函数的极值、最值(含解析)，共43页。PPT课件主要包含了强基础•固本增分，研考点•精准突破，目录索引，极值点是一个实数，连续不断，fafb，最大值，最小值，BCD，ACD等内容，欢迎下载使用。
课标解读　1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值.3.对于多项式函数,能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.4.会用导数研究生活中的最优化问题.
1.函数的极值与导数
函数极值反映的是函数局部的性质　　 　　
微思考 若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?
提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处没有极值.
2.函数的最值与导数　 　反映的是函数整体的性质(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的　　　　; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　　　比较,其中最大的一个是　　　　　,最小的一个是　　　　　　. 
常用结论1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.2.若在区间[a,b]上函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最大值与最小值.3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.4.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数在区间(a,b)内的最值点.
[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个,也可能没有.(　　)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(　　)(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(　　)
解析 同一函数的极小值与极大值没有必然的大小关系.
解析 如函数f(x)=x3-3x,在x=1处,函数f(x)取得极小值-2,但该函数没有最小值.
2.(多选题)(人A选二教材习题改编)如图是函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)A.函数f(x)在区间(3,5)内单调递减B.函数f(x)在区间(4,5)内单调递增C.函数f(x)在x=3处取得极大值D.函数f(x)在x=4处取得极小值
解析 由题图可知,当x∈(3,5)时,f'(x)0,当x∈(3,5)时,f'(x)0;当00,所以函数f(x)分别在(-∞,-2),(0,1)内单调递减,分别在(-2,0),(1,+∞)内单调递增,所以当x=-2和x=1时,函数f(x)取得极小值,当x=0时,函数f(x)取得极大值.故选ABD.
规律方法　由图象判断函数y=f(x)的极值(点)的两个关键点(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能的极值点.(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性,两者结合可得极值(点).
考向2　求函数的极值或极值点例2　(2025·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)=2ln x-2(a-1)x-ax2(a>0),讨论f(x)的极值.
规律方法　求函数f(x)的极值或极值点的步骤(1)求导数f'(x),不要忽略函数的定义域.(2)求方程f'(x)=0的根.(3)检查f'(x)在方程的根左、右两侧的符号,确定函数的极值或极值点.
[对点训练1](1)(多选题)(2025·山东济宁模拟)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)A.函数y=f(x)在区间(x2,x3)内单调递减B.函数y=f(x)在区间(x4,b)内单调递增C.函数y=f(x)在x4处取极大值D.函数y=f(x)在x3,x6处取极小值
解析 由题图知f(x)在(a,x2)和(x4,b)内单调递增,在(x2,x4)内单调递减,所以f(x)在x2处取得极大值,在x4处取得极小值,又(x2,x3)⫋(x2,x4),可知A,B正确,C,D错误.故选AB.
考点二　利用导数研究函数的最值
规律方法　1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.2.若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
考点三　函数极值、最值的应用
(2)已知函数f(x)的导函数g(x)=(x-1)·(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,则实数a的值为(　　)A.-1B.0C.1D.2
解析 由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x2-3x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0⇒a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x